Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral, ou explique porque ela não existe.
integralpi / 4^pi sec ^2 theta d theta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo. A questão pede pra gente calcular integralpi / 4^pi sec^2 theta , dtheta. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre encontrar antiderivadas.

Passo 2

Primeiro, lembrar o que é o Teorema Fundamental do Cálculo. Ele basicamente diz que para calcular a integral definida de uma função, a gente precisa encontrar uma antiderivada dessa função e então avaliar nos limites de integração. Ou seja:
integrala^b f(x) , dx = F(b) - F(a)
onde F(x) é uma antiderivada de f(x).

Passo 3

Agora, vamos encontrar a antiderivada de sec^2 theta. Sabemos que a derivada de tan theta é sec^2 theta, então a antiderivada de sec^2 theta é tan theta. Assim:
integral sec^2 theta , dtheta = tan theta + C
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, vamos avaliar a antiderivada nos limites pi/4 e pi:
integralpi / 4^pi sec^2 theta , dtheta = [ tan theta ]pi / 4^pi = tan(pi) - tan(pi4)

Passo 5

Agora, calcular os valores:
  • tan(pi) = 0 (porque tan de múltiplos de pi é zero)
  • tan(pi4) = 1 (porque tan(45°) = 1)
Substituindo:
0 - 1 = -1

Resposta

O valor da integral é -1.

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