Encontre as assíntotas do gráfico de cada uma das funções a seguir, quando existir. Encontre também os pontos críticos e os pontos de inflexão das funções, caso existam. Faça um estudo do crescimento e da concavidade de todos os pontos da função e faça o esboço do gráfico.
;
Passo 1
O enunciado apresenta a função definida por partes
Precisamos encontrar as assíntotas (verticais e horizontais), os pontos críticos (onde
ou
não existe), os pontos de inflexão (mudança de concavidade), estudar onde
cresce ou decresce e onde é côncava para cima ou para baixo, e por fim esboçar o gráfico. O conteúdo envolve derivadas e análise de curvas.
Passo 2
Para as assíntotas, a gente verifica os limites em
e em pontos de descontinuidade. Aqui não há descontinuidade, pois ambas as partes coincidem em
.
Em temos
e em
temos
.
Logo, não existem assíntotas horizontais nem verticais.
Em
Logo, não existem assíntotas horizontais nem verticais.
Passo 3
Agora calculamos a derivada peça a peça e achamos os pontos críticos.
Em cada ramo
só se
. Precisamos checar ainda a derivabilidade em
: as derivadas laterais são ambas iguais a zero, então
existe em
e vale
.
Portanto o único ponto crítico é .
Portanto o único ponto crítico é
Passo 4
Para o estudo de crescimento, analisamos o sinal de
:
- Em
, implica , logo . - Em
, , logo .
Isso mostra que a função é crescente em todo, com tangente horizontal apenas em .
Passo 5
Agora a segunda derivada para concavidade e inflexão:
Em
,
(côncava para baixo); em
,
(côncava para cima).
A mudança de concavidade ocorre em , que é ponto de inflexão com
.
A mudança de concavidade ocorre em
Passo 6
Esboçando o gráfico de forma qualitativa, vemos que em
a curva cresce com concavidade para baixo, chega em
com tangente horizontal e muda a concavidade para cima, continuando a crescer para
.
Resposta
Não há assíntotas. O único ponto crítico é
. Há ponto de inflexão em
. A função é crescente em
, côncava para baixo em
e côncava para cima em
. O gráfico passa por
com tangente horizontal.