Encontre as assíntotas do gráfico de cada uma das funções a seguir, quando existir. Encontre também os pontos críticos e os pontos de inflexão das funções, caso existam. Faça um estudo do crescimento e da concavidade de todos os pontos da função e faça o esboço do gráfico.
f(x)=ccc-x^4, & se x<0 x^4, & se & x >= 0

Passo 1

O enunciado apresenta a função definida por partes
f(x)=-x^4,&x<0,x^4,&x>=0
Precisamos encontrar as assíntotas (verticais e horizontais), os pontos críticos (onde f'=0 ou f' não existe), os pontos de inflexão (mudança de concavidade), estudar onde f cresce ou decresce e onde é côncava para cima ou para baixo, e por fim esboçar o gráfico. O conteúdo envolve derivadas e análise de curvas.

Passo 2

Para as assíntotas, a gente verifica os limites em xtopminfty e em pontos de descontinuidade. Aqui não há descontinuidade, pois ambas as partes coincidem em x=0.
Em xto+infty temos f(x)=x^4to+infty e em xto-infty temos f(x)=-x^4to-infty.
Logo, não existem assíntotas horizontais nem verticais.

Passo 3

Agora calculamos a derivada peça a peça e achamos os pontos críticos.
f'(x)=-4x^3,&x<0,4x^3,&x>0
Em cada ramo f'(x)=0 só se x=0. Precisamos checar ainda a derivabilidade em x=0: as derivadas laterais são ambas iguais a zero, então f' existe em 0 e vale 0.
Portanto o único ponto crítico é x=0.

Passo 4

Para o estudo de crescimento, analisamos o sinal de f'(x):
  • Em x<0, x^3<0 implica -4x^3>0, logo f'(x)>0.
  • Em x>0, 4x^3>0, logo f'(x)>0.
    Isso mostra que a função é crescente em todo x=0, com tangente horizontal apenas em .

Passo 5

Agora a segunda derivada para concavidade e inflexão:
f''(x)=-12x^2,&x<0,12x^2,&x>0
Em x<0, f''(x)<0 (côncava para baixo); em x>0, f''(x)>0 (côncava para cima).
A mudança de concavidade ocorre em x=0, que é ponto de inflexão com f(0)=0.

Passo 6

Esboçando o gráfico de forma qualitativa, vemos que em x<0 a curva cresce com concavidade para baixo, chega em (0,0) com tangente horizontal e muda a concavidade para cima, continuando a crescer para +infty.

Resposta

Não há assíntotas. O único ponto crítico é (0,0). Há ponto de inflexão em (0,0). A função é crescente em (0,infty), côncava para baixo em (0,0) e côncava para cima em . O gráfico passa por com tangente horizontal.

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