Encontre as assíntotas do gráfico de cada uma das funções a seguir, quando existir. Encontre também os pontos críticos e os pontos de inflexão das funções, caso existam. Faça um estudo do crescimento e da concavidade de todos os pontos da função e faça o esboço do gráfico.
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Passo 1
O exercício pede para estudar a função racional
: encontrar assíntotas, pontos críticos, pontos de inflexão, estudar crescente/decrescente e concavidade, e por fim esboçar o gráfico. Vamos usar teoria de divisões de polinômios, derivadas e análises de sinal.
Passo 2
Para achar as assíntotas, fazemos a divisão de polinômios: dividindo
por
obtemos
Logo
Dessa forma identificamos:
• Assíntota vertical em , pois o denominador zera ali.
• Assíntota oblíqua em , que é o quociente da divisão.
• Assíntota vertical em
• Assíntota oblíqua em
Passo 3
Agora computamos a primeira derivada usando quociente:
Os pontos críticos vêm de
(e onde
não existe). O denominador não zera em domínio, então só numerador:
Chamemos
e
.
Passo 4
Para estudar monotonicidade, analisamos o sinal de
. O denominador
sempre, então o sinal é dado por
:
• em
e em
: crescentes.
• em
, considerando domínio partido em
: decrescentes em
e
.
•
•
Passo 5
Para o segundo derivada, derivamos
ou simplificamos diretamente:
Como o numerador é positivo, o sinal de
é o de
:
• para
: concavidade para baixo.
• para
: concavidade para cima.
Não há solução de , logo não há pontos de inflexão no domínio (o possível ponto
não pertence ao domínio).
•
•
Não há solução de
Passo 6
Com tudo isso podemos esboçar o gráfico: duas curvas separadas pela assíntota vertical
, aproximando-se de
à direita e à esquerda, com máximo local em
e mínimo local em
, e concavidades trocando de sinal ao cruzar
.
Resposta
Assíntotas: vertical em x=-3; oblíqua em y=2x-6. Pontos críticos: x=\frac{-6-√34}{2} (máximo local), x=\frac{-6+√34}{2} (mínimo local). Não há pontos de inflexão no domínio. f cresce em (-∞,\frac{-6-√34}{2}) e em (\frac{-6+√34}{2},∞); decresce em (\frac{-6-√34}{2},-3) e em (-3,\frac{-6+√34}{2}). f é côncava para baixo em (-∞,-3) e côncava para cima em (-3,∞). Esboço: duas folhas separadas na reta x=-3, cada uma aproximando-se da reta y=2x-6.