Encontre as assíntotas do gráfico de cada uma das funções a seguir, quando existir. Encontre também os pontos críticos e os pontos de inflexão das funções, caso existam. Faça um estudo do crescimento e da concavidade de todos os pontos da função e faça o esboço do gráfico.
f(x)=2 x^2-1x+3;

Passo 1

O exercício pede para estudar a função racional f(x)=2x^2-1x+3: encontrar assíntotas, pontos críticos, pontos de inflexão, estudar crescente/decrescente e concavidade, e por fim esboçar o gráfico. Vamos usar teoria de divisões de polinômios, derivadas e análises de sinal.

Passo 2

Para achar as assíntotas, fazemos a divisão de polinômios: dividindo 2x^2-1 por x+3 obtemos
2x^2-1=(x+3)(2x-6)+17
Logo
f(x)=2x-6+17x+3
Dessa forma identificamos:
• Assíntota vertical em x=-3, pois o denominador zera ali.
• Assíntota oblíqua em y=2x-6, que é o quociente da divisão.

Passo 3

Agora computamos a primeira derivada usando quociente:
f'(x)=(4x)(x+3)-(2x^2-1)cdot1(x+3)^2 = 2x^2+12x+1(x+3)^2
Os pontos críticos vêm de f'(x)=0 (e onde f' não existe). O denominador não zera em domínio, então só numerador:
2x^2+12x+1=0 implies x=-12pmraiz144-84=-6pmraiz342
Chamemos x1=-6-raiz342approx-5,915 e x2=-6+raiz342approx-0,085.

Passo 4

Para estudar monotonicidade, analisamos o sinal de f'(x). O denominador (x+3)^2>0 sempre, então o sinal é dado por 2x^2+12x+1:
f'(x)>0 em (-infty,x1) e em (x2,infty): crescentes.
f'(x)<0 em (x1,x2), considerando domínio partido em x=-3: decrescentes em (x1,-3) e (-3,x2).

Passo 5

Para o segundo derivada, derivamos f'(x) ou simplificamos diretamente:
f''(x)=34(x+3)^3
Como o numerador é positivo, o sinal de f'' é o de (x+3)^3:
f''(x)<0 para x<-3: concavidade para baixo.
f''(x)>0 para x>-3: concavidade para cima.
Não há solução de f''(x)=0, logo não há pontos de inflexão no domínio (o possível ponto x=-3 não pertence ao domínio).

Passo 6

Com tudo isso podemos esboçar o gráfico: duas curvas separadas pela assíntota vertical x=-3, aproximando-se de y=2x-6 à direita e à esquerda, com máximo local em x1 e mínimo local em x2, e concavidades trocando de sinal ao cruzar x=-3.

Resposta

Assíntotas: vertical em x=-3; oblíqua em y=2x-6. Pontos críticos: x=\frac{-6-√34}{2} (máximo local), x=\frac{-6+√34}{2} (mínimo local). Não há pontos de inflexão no domínio. f cresce em (-∞,\frac{-6-√34}{2}) e em (\frac{-6+√34}{2},∞); decresce em (\frac{-6-√34}{2},-3) e em (-3,\frac{-6+√34}{2}). f é côncava para baixo em (-∞,-3) e côncava para cima em (-3,∞). Esboço: duas folhas separadas na reta x=-3, cada uma aproximando-se da reta y=2x-6.

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