Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados.
y=raizx-1, x=2, x=5, y=0; ao redor do eixo x .

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por y=raizx-1, x=2, x=5 e y=0 em torno do eixo x. O conteúdo é volume de sólido de revolução e vamos precisar usar o método dos discos (ou anéis).

Passo 2

No método dos discos para rotação em torno do eixo x, o volume é dado por
V = pi integrala^b [R(x)]^2 ,dx
onde R(x) é o raio do disco, isto é, a distância vertical da curva até o eixo x. Aqui
R(x) = raizx - 1, a=2, b=5

Passo 3

Substituindo R(x) na fórmula e expandindo o quadrado, temos
V = pi integral2^5 (raizx-1)^2 ,dx = pi integral2^5 l(x -2raizx +1r),dx
Agora vamos integrar cada termo:
integral x,dx = x^22, integral 1,dx = x, integral 2raizx,dx = 2 cdot 23x^3/2 = 43x^3/2

Passo 4

Portanto
V = pi [x^22 + x - 43x^3/2]2^5
Avaliando em x=5 e x=2 e simplificando, obtemos
V = pi l(tfrac272 + tfrac8raiz2 -20raiz53r)

Passo 5

Por fim, escrevendo tudo sobre o mesmo denominador, chega-se a
V = pi6l(81 + 16raiz2 - 40raiz5r)

Resposta

V = pi6l(81 + 16raiz2 - 40raiz5r)

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