Encontre as assíntotas do gráfico de cada uma das funções a seguir, quando existir. Encontre também os pontos críticos e os pontos de inflexão das funções, caso existam. Faça um estudo do crescimento e da concavidade de todos os pontos da função e faça o esboço do gráfico.
f(x)=x^44-x^33-x^2+1 ;

Passo 1

O enunciado pede para estudar a função f(x)=x^44-x^33-x^2+1: identificar assíntotas, pontos críticos, pontos de inflexão, estudar crescimento e concavidade e esboçar o gráfico.

Passo 2

Começamos pelas assíntotas. Como f(x) é um polinômio de grau 4, não há assíntotas verticais (nenhum denominador que zere) nem assíntotas oblíquas ou horizontais, pois para xtopminfty o polinômio cresce como x^4.

Passo 3

Para achar os pontos críticos calculamos a derivada primeira. Aplicando regra do poder e soma, temos:
f'(x)=x^3 - x^2 - 2x = x(x^2 - x - 2)=x(x-2)(x+1)
Logo os pontos críticos são as raízes de f'(x)=0, ou seja x=-1,,0,,2.

Passo 4

Para saber onde a função cresce ou decresce, analisamos o sinal de f'(x)=x(x-2)(x+1) em cada intervalo:
  • (-infty, -1): cada fator é (neg, neg, neg) ⇒ produto neg ⇒ decrescente.
  • (-1,0): (neg, neg, pos) ⇒ pos ⇒ crescente.
  • (0,2): (pos, neg, pos) ⇒ neg ⇒ decrescente.
  • (2,infty): (pos, pos, pos) ⇒ pos ⇒ crescente.

Passo 5

Agora a derivada segunda para concavidade e pontos de inflexão:
f''(x)=3x^2-2x-2
Resolvendo f''(x)=0 pela fórmula de Bhaskara:
x=2pmraiz4+246=2pm2raiz76=1pmraiz73
Esses são os pontos de inflexão.

Passo 6

Analisando o sinal de f''(x):
  • Para x<1-raiz73 (aprox. -0,5486): f''<0 ⇒ concavidade para baixo.
  • Para 1-raiz73 (aprox. 1,2153): f''>0 ⇒ concavidade para cima.
  • Para x>1+raiz73: f''<0 ⇒ concavidade para baixo.

Passo 7

Calculamos f(x) nos pontos críticos e de inflexão para posicionar no esboço:
  • f(-1)=7/12 (mínimo local).
  • f(0)=1 (máximo local).
  • f(2)=-5/3 (mínimo local).
  • fl((1pmraiz7)/3r) são os valores de inflexão (aprox. 0,78) e -0,53).
    Com isso temos todas as informações para desenhar o gráfico: começa decrescendo, faz mínimo em -1,7/12), sobe até máximo em (0,1), desce até mínimo em (2,-5/3) e cresce depois, alternando concavidade nos pontos de inflexão.

Passo 8

No esboço final marcamos: sem assíntotas; pontos críticos em -1,7/12), (0,1), (2,-5/3); inflexão em x=(1pmraiz7)/3; intervalos de crescimento (-1,0) e (2,infty), decrescimento (-infty,-1) e (0,2); concavidade para baixo até xapprox-0,5486, para cima até xapprox1,2153, e para baixo depois.

Resposta

Assíntotas: não existem para esta função polinomial.
Pontos críticos: x=-1 (mínimo local, f(-1)=7/12), x=0 (máximo local, f(0)=1), x=2 (mínimo local, f(2)=-5/3).
Intervalos de crescimento: (-1,0) e (2,infty).
Intervalos de decrescimento: (-,-1) e (0,2).
Pontos de inflexão: x=(1pmraiz7)/3 (aprox. -0,5486,0,7778) e (1,2153,-0,5293).
Concavidade para baixo em (-, (1-raiz7)/3) e ((1+raiz7)/3,infty); concavidade para cima em ((1-raiz7)/3, (1+raiz7)/3).
Esboço: polinomial de grau 4 sem assíntotas, com os pontos e regimes de crescimento/concavidade marcados conforme acima.

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