Encontre as assíntotas do gráfico de cada uma das funções a seguir, quando existir. Encontre também os pontos críticos e os pontos de inflexão das funções, caso existam. Faça um estudo do crescimento e da concavidade de todos os pontos da função e faça o esboço do gráfico.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a função
: identificar assíntotas, pontos críticos, pontos de inflexão, estudar crescimento e concavidade e esboçar o gráfico.
Passo 2
Começamos pelas assíntotas. Como
é um polinômio de grau 4, não há assíntotas verticais (nenhum denominador que zere) nem assíntotas oblíquas ou horizontais, pois para
o polinômio cresce como
.
Passo 3
Para achar os pontos críticos calculamos a derivada primeira. Aplicando regra do poder e soma, temos:
Logo os pontos críticos são as raízes de
Passo 4
Para saber onde a função cresce ou decresce, analisamos o sinal de
em cada intervalo:
-
: cada fator é (neg, neg, neg) ⇒ produto neg ⇒ decrescente. -
: (neg, neg, pos) ⇒ pos ⇒ crescente. -
: (pos, neg, pos) ⇒ neg ⇒ decrescente. -
: (pos, pos, pos) ⇒ pos ⇒ crescente.
Passo 5
Agora a derivada segunda para concavidade e pontos de inflexão:
Resolvendo
Esses são os pontos de inflexão.
Passo 6
Analisando o sinal de
:
- Para
(aprox. : ⇒ concavidade para baixo. - Para
(aprox. : ⇒ concavidade para cima. - Para
: ⇒ concavidade para baixo.
Passo 7
Calculamos
nos pontos críticos e de inflexão para posicionar no esboço:
-
(mínimo local). -
(máximo local). -
(mínimo local). -
são os valores de inflexão (aprox. e .
Com isso temos todas as informações para desenhar o gráfico: começa decrescendo, faz mínimo em, sobe até máximo em , desce até mínimo em e cresce depois, alternando concavidade nos pontos de inflexão.
Passo 8
No esboço final marcamos: sem assíntotas; pontos críticos em
,
,
; inflexão em
; intervalos de crescimento
e
, decrescimento
e
; concavidade para baixo até
, para cima até
, e para baixo depois.
Resposta
Assíntotas: não existem para esta função polinomial.
Pontos críticos: (mínimo local,
),
(máximo local,
),
(mínimo local,
).
Intervalos de crescimento: e
.
Intervalos de decrescimento: e
.
Pontos de inflexão: (aprox.
e
.
Concavidade para baixo em e
; concavidade para cima em
.
Esboço: polinomial de grau 4 sem assíntotas, com os pontos e regimes de crescimento/concavidade marcados conforme acima.
Pontos críticos:
Intervalos de crescimento:
Intervalos de decrescimento:
Pontos de inflexão:
Concavidade para baixo em
Esboço: polinomial de grau 4 sem assíntotas, com os pontos e regimes de crescimento/concavidade marcados conforme acima.