Encontre a primitiva.
integral sec ^2 3 theta d theta.

Passo 1

A questão pede para encontrar a primitiva (ou antiderivada) de sec^2(3theta) em relação a theta. Vamos trabalhar com integrais de funções trigonométricas e usar o método de substituição para deixar a operação mais simples.

Passo 2

Lembrando da teoria básica: a derivada de tan x é sec^2 x. Logo, sabemos que
integral sec^2 x,dx = tan x + C
onde C é a constante de integração.

Passo 3

Para usar substituição, definimos u = 3theta. Então temos
du = 3,dtheta
ou seja
dtheta = du3
Substituindo na integral original, obtemos
integral sec^2(3theta),dtheta = integral sec^2(u) cdot du3 = 13 integral sec^2(u),du

Passo 4

Agora usamos o resultado da teoria:
integral sec^2(u),du = tan(u) + C
Portanto
13 integral sec^2(u),du = 13 tan(u) + C
Voltando à variável original u = 3theta, temos
13 tan(3theta) + C

Resposta

13 tan(3theta) + C

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