Encontre as assíntotas do gráfico de cada uma das funções a seguir, quando existir. Encontre também os pontos críticos e os pontos de inflexão das funções, caso existam. Faça um estudo do crescimento e da concavidade de todos os pontos da função e faça o esboço do gráfico.
;
Passo 1
A função é dada por partes em [0,π]:
Primeira parte: f(x)=sen(x) para 0≤x<π/2
Segunda parte: f(x)=sen(x−π/2)=−cos(x) para π/2≤x≤π
Segunda parte: f(x)=sen(x−π/2)=−cos(x) para π/2≤x≤π
Vamos estudar assíntotas, pontos críticos (onde f′=0 ou não existe), pontos de inflexão (mudança de concavidade), crescimento/decrescimento, concavidade e, por fim, esboçar o gráfico.
Passo 2
Não há assíntotas verticais porque não há pontos de descontinuidade infinita nem divisão por zero. Também não há assíntotas horizontais ou oblíquas, pois o domínio é fechado e não há comportamento infinito nas extremidades.
Passo 3
Calculemos f′ em cada trecho:
Para 0<x<π/2:
f′(x)=d/dx[sen(x)]=cos(x)
Para π/2<x<π:
f′(x)=d/dx[−cos(x)]=sin(x)
Pontos críticos internos são onde f′=0 ou não existe:
No primeiro trecho cos(x)=0 ⇒ x=π/2, mas esse ponto não pertence abertamente a (0,π/2), é a fronteira e aí f′ muda de valor (não existe derivada única) ⇒ x=π/2 é ponto onde derivada não existe.
No segundo trecho sin(x)=0 ⇒ x=π, que pertence ao domínio e f′(π)=0.
Nos extremos: x=0 e x=π/2 e x=π. Desses, x=π/2 já citado e x=0 não anula f′, x=π é critério interno (f′=0) e também fim de domínio.
Passo 4
Agora a segunda derivada para ver concavidade:
Para 0<x<π/2:
f’’(x)=d/dx[cos(x)]=−sen(x). Como sen(x)>0 em (0,π/2), f’’<0 ⇒ concavidade para baixo.
Para π/2<x<π:
f’’(x)=d/dx[sin(x)]=cos(x). Em (π/2,π) temos cos(x)<0 ⇒ concavidade para baixo também.
Não há mudança de sinal de f’’ em nenhum ponto interno ⇒ não existem pontos de inflexão.
Passo 5
Comportamento de crescimento e decrescimento:
Em (0,π/2): f′(x)=cos(x)>0 ⇒ f é estritamente crescente.
Em (π/2,π): f′(x)=sin(x)>0 ⇒ f continua estritamente crescente até π.
Em (π/2,π): f′(x)=sin(x)>0 ⇒ f continua estritamente crescente até π.
Concavidade: f’’<0 em todo o domínio interno ⇒ concavidade para baixo em [0,π], em cada trecho.
Observação de descontinuidade em x=π/2: lim f(x→π/2−)=1 e f(π/2)=0 ⇒ salto de 1 unidade para baixo.
Passo 6
Esboço do gráfico:
Pontos principais:
x=0 ⇒ f(0)=0
x→π/2− ⇒ f→1
x=π/2 ⇒ f(π/2)=0 (salto)
x=π ⇒ f(π)=1
x→π/2− ⇒ f→1
x=π/2 ⇒ f(π/2)=0 (salto)
x=π ⇒ f(π)=1
Traçar duas curvas côncavas para baixo, ambas crescentes: a primeira de (0,0) até aproximar (π/2,1), a segunda de (π/2,0) até (π,1).
Resposta
Assíntotas: não existem.
Pontos críticos: x=π/2 (derivada não existe; canto/junção das peças) e x=π (f′=0).
Pontos de inflexão: não existem (a função é côncava para baixo em todo o domínio interno).
Crescimento: f é estritamente crescente em (0,π/2) e em (π/2,π).
Concavidade: côncava para baixo em todo o domínio interno.
Esboço: curve-se de (0,0) até quase (π/2,1), salta para (π/2,0) e continua subindo até (π,1), sempre côncava para baixo.