Encontre as assíntotas do gráfico de cada uma das funções a seguir, quando existir. Encontre também os pontos críticos e os pontos de inflexão das funções, caso existam. Faça um estudo do crescimento e da concavidade de todos os pontos da função e faça o esboço do gráfico.
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Passo 1
O enunciado pede para a função racional f(x)=x/(x−1) encontrarmos as assíntotas (verticais, horizontais ou oblíquas), os pontos críticos (onde f′(x)=0 ou f′ não existe), os pontos de inflexão (onde f″(x)=0 ou muda de sinal), estudar intervalos de crescimento/decaimento e concavidade, e por fim esboçar o gráfico.
Passo 2
Para achar as assíntotas verticais basta ver onde o denominador zera: x−1=0 ⇒ x=1. Para as assíntotas horizontais calculamos o limite em ±∞:
logo y=1 é assíntota horizontal. Não há assíntote oblíqua, pois o grau do numerador não excede o do denominador em mais que 1 e já obtivemos a horizontal.
Passo 3
Para estudar monotonicidade, escrevemos f(x)=1+1/(x−1) e derivamos:
Como (x−1)^2>0 no domínio, f′(x)<0 em todo lugar. Concluímos que f é estritamente decrescente em (−∞,1) e em (1,∞).
Passo 4
Os pontos críticos são soluções de f′(x)=0 ou onde f′ não existe dentro do domínio. Aqui f′(x) nunca zera e só deixa de existir em x=1, mas x=1 não pertence ao domínio. Logo não há nenhum ponto crítico.
Passo 5
Para concavidade calculamos a segunda derivada:
Em (−∞,1), (x−1)^3<0 ⇒ f″(x)<0 ⇒ côncava para baixo. Em (1,∞), (x−1)^3>0 ⇒ f″(x)>0 ⇒ côncava para cima.
Passo 6
Não existem pontos de inflexão porque f″(x) não se anula em nenhum x do domínio e só muda de sinal em x=1, que não pertence ao domínio.
Passo 7
Para esboçar: é uma hipérbole com centro em (1,1), assíntotas x=1 e y=1. No ramo esquerdo (x<1) ela decresce de y→1⁻ (quando x→−∞) até y→−∞ (quando x→1⁻), passando por (0,0). No ramo direito (x>1) ela decresce de y→+∞ (x→1⁺) até y→1⁺ (x→+∞), passando por (2,2).
Resposta
Assíntotas: vertical x=1 e horizontal y=1. Pontos críticos: nenhum. Pontos de inflexão: nenhum. Crescimento/decrescimento: f é estritamente decrescente em (−∞,1) e em (1,∞). Concavidade: côncava para baixo em (−∞,1) e côncava para cima em (1,∞). Gráfico: hipérbole de centro (1,1) com ramos descritos acima.