Encontre as assíntotas do gráfico de cada uma das funções a seguir, quando existir. Encontre também os pontos críticos e os pontos de inflexão das funções, caso existam. Faça um estudo do crescimento e da concavidade de todos os pontos da função e faça o esboço do gráfico.
;
Passo 1
O enunciado pede para estudar a função
: encontrar assíntotas, pontos críticos e de inflexão, estudar crescimento e concavidade, e esboçar o gráfico. Vamos usar cálculo de limites para assíntotas, derivadas para monotonicidade e concavidade.
Passo 2
Primeiro simplificamos a expressão e definimos o domínio. Para
,
logo o domínio é
Passo 3
Determinamos as assíntotas:
— Vertical em , pois
quando
e
quando
.
— Horizontal em , já que
.
— Vertical em
— Horizontal em
Passo 4
Calculamos a primeira derivada para estudar crescimento:
Passo 5
O numerador
e o denominador
para todo
, logo
em cada ramo. Não há solução de
no domínio, portanto não há pontos críticos internos:
é estritamente decrescente em
e em
.
Passo 6
Calculamos a segunda derivada para estudar concavidade:
Passo 7
Como
, o sinal de
é determinado por
:
— Para ,
e
concavidade para baixo;
— Para ,
e
concavidade para cima. Não há solução de
no domínio, logo não existem pontos de inflexão.
— Para
— Para
Passo 8
Resumindo o comportamento e esboçando:
— Em :
decrescente, côncava para cima, vai de
para
.
— Em :
decrescente, côncava para baixo, vai de
para
.
O esboço apresenta uma curva em cada ramo, com assíntota vertical e horizontal
.
— Em
— Em
O esboço apresenta uma curva em cada ramo, com assíntota vertical
Resposta
Assíntotas: vertical em
e horizontal em
.
Pontos críticos: não há ( não zera no domínio).
Pontos de inflexão: não há ( não zera no domínio).
Crescimento/decrescimento: é estritamente decrescente em
e em
.
Concavidade: côncava para baixo em e côncava para cima em
.
Esboço: um ramo em partindo de
em
caindo para
em
, e outro ramo em
partindo de
em
decrescendo para
em
, com assíntotas em
e
.
Pontos críticos: não há (
Pontos de inflexão: não há (
Crescimento/decrescimento:
Concavidade: côncava para baixo em
Esboço: um ramo em