Encontre as assíntotas do gráfico de cada uma das funções a seguir, quando existir. Encontre também os pontos críticos e os pontos de inflexão das funções, caso existam. Faça um estudo do crescimento e da concavidade de todos os pontos da função e faça o esboço do gráfico.
f(x)=x^3+2 x^2+4x^3;

Passo 1

O enunciado pede para estudar a função f(x)=x^3+2x^2+4x^3: encontrar assíntotas, pontos críticos e de inflexão, estudar crescimento e concavidade, e esboçar o gráfico. Vamos usar cálculo de limites para assíntotas, derivadas para monotonicidade e concavidade.

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão e definimos o domínio. Para xneq0,
f(x)=1+2x+4x^3
logo o domínio é Rsetminus0.

Passo 3

Determinamos as assíntotas:
— Vertical em x=0, pois f(x)to+infty quando xto0^+ e f(x)to-infty quando xto0^-.
— Horizontal em y=1, já que limxtopminftyf(x)=1.

Passo 4

Calculamos a primeira derivada para estudar crescimento:
f'(x)=-2x^2-12x^4=-2(x^2+6)x^4

Passo 5

O numerador 2(x^2+6)>0 e o denominador x^4>0 para todo xneq0, logo f'(x)<0 em cada ramo. Não há solução de f'(x)=0 no domínio, portanto não há pontos críticos internos: f é estritamente decrescente em (-infty,0) e em (0,infty).

Passo 6

Calculamos a segunda derivada para estudar concavidade:
f''(x)=4x^3+48x^5=4(x^2+12)x^5

Passo 7

Como x^2+12>0, o sinal de f''(x) é determinado por x^5:
— Para x<0, x^5<0 e f''(x)<0 Rightarrow concavidade para baixo;
— Para x>0, x^5>0 e f''(x)>0 Rightarrow concavidade para cima. Não há solução de f''(x)=0 no domínio, logo não existem pontos de inflexão.

Passo 8

Resumindo o comportamento e esboçando:
— Em (0,infty): f decrescente, côncava para cima, vai de +infty para 1^+.
— Em (-infty,0): f decrescente, côncava para baixo, vai de 1^- para -infty.
O esboço apresenta uma curva em cada ramo, com assíntota vertical x=0 e horizontal y=1.

Resposta

Assíntotas: vertical em x=0 e horizontal em y=1.
Pontos críticos: não há ( f'(x) não zera no domínio).
Pontos de inflexão: não há ( f''(x) não zera no domínio).
Crescimento/decrescimento: f é estritamente decrescente em (-infty,0) e em (0,infty).
Concavidade: côncava para baixo em (-infty,0) e côncava para cima em (0,infty).
Esboço: um ramo em x<0 partindo de 1^- em xto-infty caindo para -infty em xto0^-, e outro ramo em x>0 partindo de +infty em xto0^+ decrescendo para 1^+ em xto+infty, com assíntotas em x=0 e y=1.

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