Encontre a primitiva.
integral0^pi / 3 tan ^3 x sec x d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral0^pi/3 tan^3x,sec x,dx. O conteúdo principal é integração de potência de funções trigonométricas, e vamos precisar da identidade tan^2x=sec^2x-1 e da derivada de sec x, pois tfracddx(sec x)=sec xtan x.

Passo 2

Primeiro, escrevemos tan^3x=tan^2xcdottan x e agrupamos sec xtan x,dx para facilitar a substituição:
integral0^pi/3 tan^3x,sec x,dx =integral0^pi/3 tan^2x,(sec xtan x),dx

Passo 3

Agora fazemos a substituição u=sec x, logo du=sec xtan x,dx. Além disso, usamos tan^2x=sec^2x-1=u^2-1. A integral fica em termos de u e os limites mudam: quando x=0, u=sec0=1; quando x=pi/3, u=sec(pi/3)=2. Assim:
integral0^pi/3 tan^2x,(sec xtan x),dx =integralu=1^u=2 (u^2-1),du

Passo 4

Agora é só integrar em u:
integral1^2(u^2-1),du =l[tfracu^33-ur]1^2 =(tfrac83-2)-(tfrac13-1) =tfrac8-63-l(tfrac1-33r) =tfrac23-l(-tfrac23r) =tfrac43

Resposta

tfrac43

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