Mostre que:
(i) lim (x, y) (0,0) sen(x y)raizx^2+y^2=0

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis quando (x,y)→(0,0). O conteúdo envolvido é o cálculo de limites em ℝ² usando o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem) e desigualdades básicas.

Passo 2

Usamos a desigualdade clássica de funções elementares: para todo u∈ℝ vale |\sin(u)|≤|u|. Aplicando com u=xy obtemos
|sin(xy)| <= |xy|

Passo 3

Dividindo ambos os lados por √(x²+y²)>0, temos
|sin(xy)raizx^2+y^2| <= |xy|raizx^2+y^2

Passo 4

Agora precisamos controlar o quociente |xy|/√(x²+y²). Usando a desigualdade de média aritmética e geométrica, 2|xy|≤x²+y², segue
|xy| <= x^2+y^22 Longrightarrow |xy|raizx^2+y^2 <= x^2+y^22raizx^2+y^2 = raizx^2+y^22

Passo 5

Portanto temos a cadeia de desigualdades
0 <= |sin(xy)raizx^2+y^2| <= raizx^2+y^22
Como √(x²+y²)/2→0 quando (x,y)→(0,0), pelo Teorema do Confronto concluímos que o limite original é 0.

Resposta

0

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