Mostre que:
(i)
(i)
Passo 1
O enunciado nos pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis quando (x,y)→(0,0). O conteúdo envolvido é o cálculo de limites em ℝ² usando o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem) e desigualdades básicas.
Passo 2
Usamos a desigualdade clássica de funções elementares: para todo u∈ℝ vale |\sin(u)|≤|u|. Aplicando com u=xy obtemos
Passo 3
Dividindo ambos os lados por √(x²+y²)>0, temos
Passo 4
Agora precisamos controlar o quociente |xy|/√(x²+y²). Usando a desigualdade de média aritmética e geométrica, 2|xy|≤x²+y², segue
Passo 5
Portanto temos a cadeia de desigualdades
Como √(x²+y²)/2→0 quando (x,y)→(0,0), pelo Teorema do Confronto concluímos que o limite original é 0.
Resposta
0