Encontre as assíntotas horizontais das funções abaixo, caso existam.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as assíntotas horizontais da função $ f(x) = -\frac{8}{x^{2} - 4} $. A gente vai precisar entender um pouco sobre funções racionais e assíntotas horizontais. Vou te explicar passo a passo como fazer isso sem complicação.
Passo 2
Primeiro, o que são assíntotas horizontais? São linhas que a função se aproxima quando $ x $ vai para mais infinito ($ +\infty
-\infty $). Elas nos dizem como a função se comporta em extremos.
Passo 3
Nossa função é uma função racional, que tem a forma de um polinômio dividido por outro polinômio. No caso, $ f(x) = -\frac{8}{x^{2} - 4} $. Para encontrar as assíntotas horizontais, vamos analisar o limite dessa função quando $ x $ vai para $ +\infty $ e $ -\infty $.
Passo 4
Vamos calcular o limite quando $ x $ tende a $ +\infty $:
Quando $ x $ é muito grande, o termo $ x^{2} $ domina, então $ x^{2} - 4 $ é aproximadamente igual a $ x^{2} $. Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando $ x $ tende a $ -\infty $:
Assim como antes, $ x^{2} $ domina mesmo quando $ x $ é negativo, então:
Passo 6
Como o limite da função $ f(x) $ é 0 tanto quando $ x $ vai para $ +\infty $ quanto para $ -\infty $, isso significa que a linha $ y = 0 $ é uma assíntota horizontal da função.
Resposta
A assíntota horizontal da função $ f(x) = -\frac{8}{x^{2} - 4} $ é $ y = 0 $.