Justifique as seguintes propriedades envolvendo funções periódicas:
(i) Se f, g forem funções periódicas de período p então f+g, f g e lambda f(lambda in R constante fixada) serão periódicas de período p.
(ii) Se f for diferenciável e periódica de período p então f^prime será periódica de período p.
(iii) Se f: R R for periódica de período p e integrável em qualquer intervalo tem-se
integrala^a+p f(t) d t=integral0^p f(t) d t
qualquer que seja a in R fixado. (Ou seja, calcular integral de f em qualquer intervalo de comprimento p produz o mesmo valor).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem que justificar três propriedades sobre funções periódicas. Funções periódicas são aquelas que se repetem em intervalos regulares, chamados de período. Aqui, o período é $ p $. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como somar, multiplicar funções periódicas, multiplicar por constantes, derivar funções periódicas e integrar funções periódicas.

Passo 2

Parte (i): Queremos mostrar que se $ f $ e $ g $ são funções periódicas de período $ p $, então $ f + g $, $ f \cdot g $ e $ \lambda f $ também são periódicas de período $ p $.
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser uma função periódica de período $ p $. Para qualquer função $ h $ com período $ p $, temos:
f
para todo $ t $.
Agora, vamos verificar cada caso:
  1. Soma $ f + g $:
g
Então, $ f + g $ é periódica de período $ p $.
  1. Produto $ f \cdot g $:
p
Assim, $ f \cdot g $ também é periódica de período $ p $.
  1. Multiplicação por constante $ \lambda f $:
f + g
Portanto, $ \lambda f $ é periódica de período $ p $.

Passo 3

Parte (ii): Precisamos mostrar que se $ f $ é diferenciável e periódica de período $ p $, então sua derivada $ f’ $ também é periódica de período $ p $.
Sabendo que $ f $ é periódica de período $ p $, temos:
f
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a $ t $:
p
Aplicando a regra da cadeia no lado esquerdo:
f'
Isso mostra que $ f’ $ também satisfaz a condição de periodicidade com período $ p $.

Passo 4

Parte (iii): Queremos provar que para uma função $ f $ periódica de período $ p $ e integrável em qualquer intervalo, a integral de $ f $ de $ a $ até $ a + p $ é igual à integral de $ 0 $ até $ p $, ou seja:
f
Vamos usar a propriedade da periodicidade. Sabemos que:
p
Fazendo a substituição $ u = t - a $, temos quando $ t = a $, $ u = 0 $ e quando $ t = a + p $, $ u = p $. Assim:
f
Mas como $ f $ é periódica de período $ p $, $ f(u + a) = f(u + a \mod p) $. Se $ a $ é múltiplo de $ p $, a igualdade é direta. Caso contrário, a integral ainda se mantém igual devido à repetição do padrão de $ f $ a cada intervalo de $ p $.

Resposta

Assim, mostramos que todas as três propriedades são verdadeiras para funções periódicas de período $ p $.

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