Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada uma das funções dadas abaixo e faça um esboço do gráfico:
y=\frac{3^{x}}{3^{x}-27}

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas horizontais e verticais de
y = \frac{3^{x}}{3^{x}-27}
e um esboço do gráfico. O conteúdo aqui é estudo de limites para identificar onde a função “explode” (assíntota vertical) e qual seu valor de saída quando x\to\pm\infty (assíntotas horizontais).

Passo 2

Para achar a assíntota vertical buscamos onde o denominador se anula:
3^{x}-27=0 \quad\Longrightarrow\quad 3^{x}=27 \quad\Longrightarrow\quad x=3.
Verificamos o comportamento em torno de x=3:
\lim_{x\to3^-}\frac{3^{x}}{3^{x}-27}=-\infty, \qquad \lim_{x\to3^+}\frac{3^{x}}{3^{x}-27}=+\infty.
Logo x=3 é assíntota vertical.

Passo 3

Para as horizontais, analisamos x\to+\infty e x\to-\infty:
  1. Quando x\to+\infty, 3^{x}\gg27, então
\frac{3^{x}}{3^{x}-27} =\frac{1}{1-27/3^{x}} \;\longrightarrow\;1.
  1. Quando x\to-\infty, 3^{x}\to0, então
\frac{3^{x}}{3^{x}-27} \;\longrightarrow\; \frac{0}{-27} =0.
Portanto há duas assíntotas horizontais: y=1 e y=0.

Passo 4

O esboço fica assim:
– Para x<3, a curva sai de y\approx0 quando x\to-\infty, vai decrescendo e cai para -\infty ao se aproximar de x=3.
– Para x>3, a curva sai de +\infty em x\to3^+ e decai assintoticamente até y=1 quando x\to+\infty.
As linhas tracejadas x=3, y=0 e y=1 mostram as assíntotas.

Resposta

Assíntota vertical: x=3.
Assíntotas horizontais: y=0 e y=1.

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