1. Seja P(x) um polinômio de grau n \in \mathbb{N} dado por P(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+ \ldots+a_{1} x+a_{0}, onde a_{n} \neq 0. Mostre que
\lim _{x \rightarrow \infty} P(x)=\lim _{x \rightarrow \infty} a_{n} x^{n} \text { e } \lim _{x \rightarrow-\infty} P(x)=\lim _{x \rightarrow-\infty} a_{n} x^{n} .

Passo 1

O enunciado diz que P(x) é um polinômio de grau n dado por
P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0},
com a_{n}\neq0. Queremos mostrar que
\lim_{x\to\infty}P(x)=\lim_{x\to\infty}a_{n}x^{n} \quad\text{e}\quad \lim_{x\to-\infty}P(x)=\lim_{x\to-\infty}a_{n}x^{n}.
O conteúdo principal é usar a fatoração por x^{n} e as propriedades de limites de soma e produto.

Passo 2

Para x\to\infty, fatoramos x^{n} em P(x):
P(x) = x^{n}\Bigl(a_{n} + \tfrac{a_{n-1}}{x} + \tfrac{a_{n-2}}{x^{2}} + \cdots + \tfrac{a_{0}}{x^{n}}\Bigr).

Passo 3

Cada termo \tfrac{a_{k}}{x^{\,n-k}} com k<n satisfaz
\lim_{x\to\infty}\frac{a_{k}}{x^{\,n-k}} = 0.
Logo, pelo limite de soma, o fator entre parênteses tende a a_{n}:
\lim_{x\to\infty}\Bigl(a_{n} + \tfrac{a_{n-1}}{x} + \cdots + \tfrac{a_{0}}{x^{n}}\Bigr) = a_{n}.

Passo 4

Aplicando a regra do produto de limites, como \lim_{x\to\infty}x^{n}=+\infty e o parêntese tende a a_{n}\neq0, obtemos
\lim_{x\to\infty}P(x) = \lim_{x\to\infty} \bigl[x^{n}\bigr]\;\cdot\; \lim_{x\to\infty}\Bigl(a_{n} + \cdots\Bigr) = \lim_{x\to\infty}a_{n}x^{n}.

Passo 5

Para x\to-\infty, fazemos a troca de variável y=-x, de modo que y\to+\infty e
P(x)=P(-y)=a_{n}(-y)^{n}+a_{n-1}(-y)^{n-1}+\cdots+a_{0}.
Repetimos os Passos 2–4 em y\to\infty e notamos que (-y)^{n}=(-1)^{n}y^{n}. Assim
\lim_{x\to-\infty}P(x) =\lim_{y\to\infty}P(-y) =\lim_{y\to\infty}a_{n}(-y)^{n} =\lim_{x\to-\infty}a_{n}x^{n}.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to\infty}P(x)=\lim_{x\to\infty}a_{n}x^{n} \quad\text{e}\quad \lim_{x\to-\infty}P(x)=\lim_{x\to-\infty}a_{n}x^{n}.

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