Encontre as assíntotas horizontais e verticais, se existirem:
f(x)=4 x^2raizx^2-2 x=-raiz2, x=raiz2

Passo 1

Resumindo o problema: queremos encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função f(x)=4x^2raizx^2-2. O conteúdo principal envolve limites em pontos críticos (para assíntotas verticais) e limites em pminfty (para assíntotas horizontais).

Passo 2

Determinando o domínio e candidatos a assíntotas verticais: a raiz raizx^2-2 exige x^2-2>0, ou seja, |x|>raiz2. Logo o domínio é ( -infty,-raiz2)cup(raiz2,infty). As únicas “falhas” do denominador ocorrem em x=pmraiz2, então são candidatos a assíntotas verticais.

Passo 3

Analisando os limites em xtopmraiz2: quando xtoraiz2^+ e quando xto-raiz2^-, o denominador raizx^2-2to0^+ enquanto o numerador tende a 4(raiz2)^2=8. Assim
limxtopmraiz2f(x)=+infty,
confirmando que há assíntotas verticais em x=raiz2 e em x=-raiz2.

Passo 4

Buscando assíntotas horizontais calculamos limxtopminftyf(x). Note que
f(x)=4x^2raizx^2-2=4|x|raiz1-2/x^2,,
e ao deixar xtopminfty vemos que f(x)toinfty (não tende a nenhum valor finito). Portanto não há assíntotas horizontais.

Resposta

Assíntotas verticais em x=pmraiz2. Não existem assíntotas horizontais.

Exercícios relacionados