Encontre as assíntotas horizontais e verticais da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar as assíntotas horizontais e verticais da função $ f(x) = \frac{x^{2}+1}{3x - 2x^{2}} $. Isso envolve entender um pouco sobre funções racionais e como determinar suas assíntotas. Vamos precisar identificar onde o denominador é zero para as assíntotas verticais e comparar os graus dos polinômios no numerador e denominador para as assíntotas horizontais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas assíntotas ocorrem onde o denominador da função é igual a zero, pois nesses pontos a função não está definida.
Então, vamos resolver a equação do denominador:
Passo 3
Vamos fatorar o denominador para facilitar a resolução:
Isso nos dá duas soluções:
Resolvendo
:
Passo 4
Então, as assíntotas verticais estão em:
Agora, vamos verificar se o numerador não é zero nesses pontos para confirmar que são realmente assíntotas verticais.
Para
:
Para
:
Portanto, ambas as soluções são assíntotas verticais.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a assíntota horizontal. Para isso, precisamos comparar os graus dos polinômios no numerador e no denominador.
- O grau do numerador
é 2. - O grau do denominador
também é 2.
Quando os graus do numerador e denominador são iguais, a assíntota horizontal é o quociente dos coeficientes líderes.
Passo 6
Os coeficientes líderes são:
- No numerador: 1 (coeficiente de
) - No denominador: -2 (coeficiente de
)
Então, a assíntota horizontal é:
Resposta
As assíntotas verticais da função são $ x = 0 $ e $ x = \frac{3}{2} $, e a assíntota horizontal é $ y = -\frac{1}{2} $.