Encontre as assíntotas horizontais e verticais da função
f(x)=x^2+13 x-2 x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar as assíntotas horizontais e verticais da função $ f(x) = \frac{x^{2}+1}{3x - 2x^{2}} $. Isso envolve entender um pouco sobre funções racionais e como determinar suas assíntotas. Vamos precisar identificar onde o denominador é zero para as assíntotas verticais e comparar os graus dos polinômios no numerador e denominador para as assíntotas horizontais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas assíntotas ocorrem onde o denominador da função é igual a zero, pois nesses pontos a função não está definida.
Então, vamos resolver a equação do denominador:
3x - 2x^2 = 0

Passo 3

Vamos fatorar o denominador para facilitar a resolução:
x(3 - 2x) = 0
Isso nos dá duas soluções:
x = 0 e 3 - 2x = 0
Resolvendo 3 - 2x = 0:
2x = 3 implies x = 32

Passo 4

Então, as assíntotas verticais estão em:
x = 0 e x = 32
Agora, vamos verificar se o numerador não é zero nesses pontos para confirmar que são realmente assíntotas verticais.
Para x = 0:
x^2 + 1 = 0 + 1 = 1 neq 0
Para x = 32:
(32)^2 + 1 = 94 + 1 = 134 neq 0
Portanto, ambas as soluções são assíntotas verticais.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a assíntota horizontal. Para isso, precisamos comparar os graus dos polinômios no numerador e no denominador.
  • O grau do numerador x^2 + 1 é 2.
  • O grau do denominador 3x - 2x^2 também é 2.
Quando os graus do numerador e denominador são iguais, a assíntota horizontal é o quociente dos coeficientes líderes.

Passo 6

Os coeficientes líderes são:
  • No numerador: 1 (coeficiente de x^2)
  • No denominador: -2 (coeficiente de x^2)
Então, a assíntota horizontal é:
y = 1-2 = -12

Resposta

As assíntotas verticais da função são $ x = 0 $ e $ x = \frac{3}{2} $, e a assíntota horizontal é $ y = -\frac{1}{2} $.

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