Represente geometricamente o domínio das funções de três variáveis dadas.
(b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função de três variáveis $ f(x, y, z) = \sqrt{1 - x - y - z} $, com as condições $ x \geq 0 $, $ y \geq 0 $ e $ z \geq 0 $. Nosso objetivo é representar geometricamente o domínio dessa função. Ou seja, vamos descobrir e desenhar todas as combinações de f(x, y, z) = raiz1 - x - y - z , x >= 0 e y >= 0 onde a função está bem definida.

Passo 2

Primeiro, pra função estar definida, o que está dentro da raiz quadrada tem que ser maior ou igual a zero. Isso porque não dá pra tirar raiz de número negativo sem entrar nos números complexos, que não estamos considerando aqui. Então, temos a inequação:
1 - x - y - z >= 0

Passo 3

Vamos rearranjar essa desigualdade pra ver melhor o que ela representa:
x + y + z <= 1
Isso significa que a soma das coordenadas x, y e z deve ser menor ou igual a 1.

Passo 4

Além disso, já temos as condições x >= 0, y >= 0 e z >= 0. Isso limita a nossa análise ao primeiro octante no espaço tridimensional, onde todas as coordenadas são não negativas.

Passo 5

Então, juntando tudo, o domínio da função é o conjunto de pontos (x, y, z) que satisfazem:
x >= 0 y >= 0 z >= 0 x + y + z <= 1
Geometricamente, isso forma um tetraedro no primeiro octante, limitado pelo plano x + y + z = 1 e pelos planos coordenados x = 0, y = 0 e z = 0.

Resposta

O domínio da função $ f(x, y, z) = \sqrt{1 - x - y - z} $ é o tetraedro no primeiro octante definido pelas condições f(x, y, z) = raiz1 - x - y - z , x >= 0, y >= 0 e z >= 0. Geometricamente, é a região dentro do primeiro octante abaixo do plano x + y + z <= 1.

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