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Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a integral definida de
no intervalo de
até
. Isso significa que estamos lidando com uma integral imprópria, já que um dos limites de integração é o infinito. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular antiderivadas de funções racionais e como lidar com limites no cálculo de integrais impróprias.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a antiderivada de
. Reescrevendo a função:
Para integrar
em relação a
, vamos usar uma substituição. Seja:
Substituindo na integral:
Sabemos que a integral de
é:
Portanto, a antiderivada é:
Passo 3
Agora que temos a antiderivada, vamos calcular a integral definida de
até
:
Isso significa que vamos avaliar a antiderivada nos limites de integração e subtrair:
Simplificando cada termo:
- Para
:
- Para
:
Então, substituindo de volta:
Como a integral de uma função positiva dá uma área positiva, o valor absoluto será:
Resposta
O valor da integral é
.