Encontre integral-infty^1 1(3-x)^2 d x

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a integral definida de 1(3 - x)^2 no intervalo de -infty até 1. Isso significa que estamos lidando com uma integral imprópria, já que um dos limites de integração é o infinito. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular antiderivadas de funções racionais e como lidar com limites no cálculo de integrais impróprias.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a antiderivada de 1(3 - x)^2. Reescrevendo a função:
1(3 - x)^2 = (3 - x)^-2
Para integrar (3 - x)^-2 em relação a x, vamos usar uma substituição. Seja:
u = 3 - x du = -dx dx = -du
Substituindo na integral:
integral (3 - x)^-2 , dx = integral u^-2 cdot (-du) = -integral u^-2 , du
Sabemos que a integral de u^-2 é:
integral u^-2 , du = -u^-1 + C = -1u + C
Portanto, a antiderivada é:
-1u + C = -13 - x + C

Passo 3

Agora que temos a antiderivada, vamos calcular a integral definida de -infty até 1:
integral-infty^1 1(3 - x)^2 , dx = [ -13 - x ]-infty^1
Isso significa que vamos avaliar a antiderivada nos limites de integração e subtrair:
= ( -13 - 1 ) - ( -13 - (-infty) )
Simplificando cada termo:
  1. Para x = 1:
-13 - 1 = -12
  1. Para x to -infty:
-13 - (-infty) = -1+infty = 0
Então, substituindo de volta:
-12 - 0 = -12
Como a integral de uma função positiva dá uma área positiva, o valor absoluto será:
12

Resposta

O valor da integral é 12.

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