Mostre que as funções abaixo são contínuas em todo R.
c) h(x)=sen(x^6-x^2x^2+4)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
h(x)=sinl(x^6-x^2x^2+4r)
é contínua em todo R. Vamos usar que polinômios são contínuos, que a soma e o quociente (quando o denominador não zera) de funções contínuas é contínuo, e que a função seno é contínua em todo R.

Passo 2

A função p(x)=x^6-x^2 é um polinômio. Polinômios são contínuos em todo R, ou seja, p é contínua.

Passo 3

A função q(x)=x^2+4 também é um polinômio, logo contínua em todo R. Além disso, q(x)>=4>0 para todo x, então q(x) nunca zera. Portanto, a razão r(x)=dfracp(x)q(x) é contínua em todo R, pois é quociente de funções contínuas com denominador não nulo.

Passo 4

Sabemos que sin(t) é contínua em todo R. Como r(x) é contínua e a composição de funções contínuas é contínua, a função
h(x)=sinl(r(x)r)
é contínua em todo R.

Resposta

A função h(x)=sinl((x^6-x^2)/(x^2+4)r) é contínua em todo R.

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