Encontre as assíntotas verticais e horizontais.
f(x)=e^x1-e^x

Passo 1

Vamos achar as assíntotas verticais e horizontais da função f(x)=e^x1-e^x. O conteúdo envolve identificação de pontos onde o denominador zera (assíntotas verticais) e cálculo de limites em xtopminfty (assíntotas horizontais).

Passo 2

O denominador é 1 - e^x. Igualando a zero temos 1 - e^x=0, ou seja e^x=1 e daí x=0. Portanto há uma assíntota vertical em x=0. Para confirmar o comportamento, calculamos os limites laterais:
Para xto0^-, e^xto1^- e 1-e^xto0^+, então f(x)to+infty. Para xto0^+, e^xto1^+ e 1-e^xto0^-, logo f(x)to-infty. Isso confirma a assíntota vertical x=0.

Passo 3

Agora vamos às horizontais. Primeiro, xto+infty. Podemos dividir numerador e denominador por e^x:
f(x)=e^x1-e^x=1e^-x-1= -11 - e^-x
Como e^-xto0, segue que f(x)to -1. Logo há uma assíntota horizontal y=-1 quando xto+infty.

Passo 4

Por fim, para xto-infty, temos e^xto0 e então
f(x)=e^x1-e^xto01-0=0
Isso mostra uma assíntota horizontal y=0 para xto-infty.

Resposta

Assíntota vertical: x = 0; Assíntotas horizontais: y = 0 e y = –1.

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