As equações de Maxwell relacionam o campo elétrico E e o campo magnético H, quando eles variam com o tempo em uma região que não contenha carga nem corrente, como segue:
nabla cdot E=0 nabla times E=-1c partial Hpartial t nabla cdot H=0 nabla times H=1c partial Epartial t
onde c é a velocidade da luz no vácuo. Use essas equações para demonstrar o seguinte.
(a) nabla times(nabla times E)=-1c^2 partial^2 Epartial t^2
(b) nabla times(nabla times E)=-1c^2 partial^2 Hpartial t^2
© nabla^2 E=1c^2 partial^2 Epartial t^2
(d) nabla^2 H=1c^2 partial^2 Hpartial t^2

Passo 1

O enunciado pede pra gente usar as equações de Maxwell no vácuo (sem carga nem corrente) e derivar expressões de segunda ordem para os campos E e H. Vamos precisar da identidade vetorial
nabla times (nabla times A)=nabla(nablacdotA)-nabla^2A
e das quatro equações de Maxwell fornecidas.

Passo 2

Primeiro focamos em E:
  • Como nablacdotE=0, a identidade fica
nabla times (nabla times E)=-nabla^2E
  • Por outro lado, tomando o rotacional em nablatimesE=-tfrac1c,partialtH obtemos
nablatimes(nablatimesE)=-1cpartialpartial t(nablatimesH)
e usando nablatimesH=tfrac1c,partialtE
nablatimes(nablatimesE)=-1c^2partial^2Epartial t^2
Isso prova (a). Igualando as duas expressões para nablatimes(nablatimesE) e mudando de lado, vem
nabla^2E=1c^2partial^2Epartial t^2
que é ©.

Passo 3

Agora repetimos o mesmo desenho para H:
  • Como nablacdotH=0,
nablatimes(nablatimesH)=-nabla^2H
  • Tomando o rotacional em nablatimesH=tfrac1cpartialtE e usando nablatimesE=-tfrac1cpartialtH achamos
nablatimes(nablatimesH)=-1c^2partial^2Hpartial t^2
que é o item (b) (corrigido para o campo H). Igualando com a forma -nabla^2H e reorganizando obtém-se
nabla^2H=1c^2partial^2Hpartial t^2
que é (d).

Resposta

(a) nablatimes(nablatimesE)=-tfrac1c^2,partialt^2E
(b) nablatimes(nablatimesH)=-tfrac1c^2,partialt^2H
© nabla^2E=tfrac1c^2,partialt^2E
(d) nabla^2H=tfrac1c^2,partialt^2H

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