Use o Teorema de Green para demonstrar a primeira identidade de Green
Use a primeira identidade de Green para demonstrar a segunda identidade de Green:
onde
e
satisfazem as hipóteses do Teorema de Green e as derivadas parciais apropriadas de
e
existem e são contínuas.
Use a primeira identidade de Green para demonstrar a segunda identidade de Green:
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a primeira identidade de Green usando o Teorema de Green (na forma de divergência em 2D) e depois usar essa primeira identidade para obter a segunda identidade de Green: ∬_D(f ∇²g – g ∇²f) dA = ∮_C(f ∇g – g ∇f) · n ds. Vamos precisar do Teorema de Green em forma vetorial e da definição de divergência e derivada normal.
Passo 2
Aplicar o Teorema de Green à campo vetorial
. Pela versão divergência em 2D:
Expandindo a divergência,
Logo obtemos a primeira identidade de Green:
Passo 3
Fazer o mesmo procedimento trocando os papéis de
e
. Defina
. Então
Passo 4
Subtrair a segunda relação da primeira para eliminar o termo
. No lado esquerdo fica
e no lado direito
Isso conclui a demonstração da segunda identidade de Green a partir da primeira.
Passo 5
A segunda identidade de Green resulta exatamente em