Use o Teorema de Green para demonstrar a primeira identidade de Green
Use a primeira identidade de Green para demonstrar a segunda identidade de Green:
integral duplaD(f nabla^2 g-g nabla^2 f) d A=ointC(f nabla g-g nabla f)) cdot n d s
onde D e C satisfazem as hipóteses do Teorema de Green e as derivadas parciais apropriadas de f e g existem e são contínuas.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a primeira identidade de Green usando o Teorema de Green (na forma de divergência em 2D) e depois usar essa primeira identidade para obter a segunda identidade de Green: ∬_D(f ∇²g – g ∇²f) dA = ∮_C(f ∇g – g ∇f) · n ds. Vamos precisar do Teorema de Green em forma vetorial e da definição de divergência e derivada normal.

Passo 2

Aplicar o Teorema de Green à campo vetorial F = fnabla g. Pela versão divergência em 2D:
integral duplaD div(fnabla g) ,dA = ointC (fnabla g)cdot n ,ds
Expandindo a divergência,
div(fnabla g) = nabla f cdot nabla g + fnabla^2g
Logo obtemos a primeira identidade de Green:
integral duplaD (nabla f cdot nabla g + fnabla^2g) ,dA = ointC f,partial gpartial n ,ds

Passo 3

Fazer o mesmo procedimento trocando os papéis de f e g. Defina G = gnabla f. Então
integral duplaD (nabla g cdot nabla f + gnabla^2f) ,dA = ointC g,partial fpartial n ,ds

Passo 4

Subtrair a segunda relação da primeira para eliminar o termo nabla fcdotnabla g. No lado esquerdo fica
integral duplaD (fnabla^2g - gnabla^2f) ,dA,
e no lado direito
ointC l(f,partial gpartial n - g,partial fpartial nr) ,ds = ointC (fnabla g - gnabla f)cdot n ,ds
Isso conclui a demonstração da segunda identidade de Green a partir da primeira.

Passo 5

A segunda identidade de Green resulta exatamente em
integral duplaDl(fnabla^2g - gnabla^2fr),dA = ointC(fnabla g - gnabla f)cdot n,ds

Resposta

integral duplaDl(f nabla^2 g - g nabla^2 fr) ,dA = ointCl(f nabla g - g nabla fr)cdot n ,ds

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