Questão [dirac1] (
) Calcule
.
-3
3
4
2
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas: a função integranda é
multiplicada pela derivada da delta de Dirac centrada em
. A integração é em todo o eixo real, de
a
. O objetivo é encontrar o valor numérico dessa integral.
Passo 2
Vou lembrar uma propriedade fundamental da delta de Dirac (propriedade de “amostragem” ou “sifting”): para uma função suficientemente suave
,
Isto significa que a delta “pega” o valor de
no ponto
. Exemplo simples:
.
Passo 3
Agora precisamos da propriedade para a derivada da delta. Podemos obtê-la por integração por partes. Seja
uma função suave; então
O termo de fronteira
é zero (a delta é nula fora de
e, no tratamento em distribuições, este termo não contribui), portanto ficamos com
Usando a propriedade da delta no lado direito obtemos a fórmula conveniente
Essa é a fórmula que vamos aplicar. Intuitivamente: a derivada da delta “pega” a derivada de
no ponto
, com sinal negativo.
Passo 4
No nosso problema temos
. Vamos calcular
aplicando regras básicas de derivação: a derivada de
é
, a derivada de
é
, e a derivada de uma constante é
. Assim
Passo 5
Aplicando a propriedade da etapa anterior com
,
Substituindo
e avaliando em
,
Portanto a integral vale
.
Resposta
-3