Questão [dirac1] ( 1,0 \mathrm{p} t ) Calcule \int_{-\infty}^{\infty}\left(t^{2}+t+2\right) \frac{d}{d t} \delta(t-1) d t.
\square -3 \square 3 \square 4 \square -4 \square 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{-\infty}^{\infty}\left(t^{2}+t+2\right)\frac{d}{d t}\delta(t-1)\,dt.
Informações dadas: a função integranda é \left(t^{2}+t+2\right) multiplicada pela derivada da delta de Dirac centrada em t=1. A integração é em todo o eixo real, de -\infty a \infty. O objetivo é encontrar o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Vou lembrar uma propriedade fundamental da delta de Dirac (propriedade de “amostragem” ou “sifting”): para uma função suficientemente suave f,
\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,\delta(t-a)\,dt = f(a).
Isto significa que a delta “pega” o valor de f no ponto t=a. Exemplo simples: \int_{-\infty}^{\infty} t\,\delta(t-2)\,dt = 2.

Passo 3

Agora precisamos da propriedade para a derivada da delta. Podemos obtê-la por integração por partes. Seja f uma função suave; então
\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,\delta'(t-a)\,dt = \left[f(t)\,\delta(t-a)\right]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^{\infty} f'(t)\,\delta(t-a)\,dt.
O termo de fronteira \left[f(t)\,\delta(t-a)\right]_{-\infty}^{\infty} é zero (a delta é nula fora de t=a e, no tratamento em distribuições, este termo não contribui), portanto ficamos com
\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,\delta'(t-a)\,dt = -\int_{-\infty}^{\infty} f'(t)\,\delta(t-a)\,dt.
Usando a propriedade da delta no lado direito obtemos a fórmula conveniente
\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,\delta'(t-a)\,dt = -f'(a).
Essa é a fórmula que vamos aplicar. Intuitivamente: a derivada da delta “pega” a derivada de f no ponto a, com sinal negativo.

Passo 4

No nosso problema temos f(t)=t^{2}+t+2. Vamos calcular f'(t) aplicando regras básicas de derivação: a derivada de t^{2} é 2t, a derivada de t é 1, e a derivada de uma constante é 0. Assim
f'(t)=2t+1.

Passo 5

Aplicando a propriedade da etapa anterior com a=1,
\int_{-\infty}^{\infty}\left(t^{2}+t+2\right)\frac{d}{dt}\delta(t-1)\,dt = -f'(1).
Substituindo f'(t)=2t+1 e avaliando em t=1,
f'(1)=2\cdot 1 + 1 = 3.
Portanto a integral vale -3.

Resposta

-3

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