Encontre as assíntotas verticais e horizontais dos gráficos das funções
f(x)=x-1x^2+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função $ f(x) = \frac{x - 1}{x^{2} + 1} $. Assíntotas são linhas que o gráfico da função se aproxima, mas nunca toca. Vamos precisar entender um pouco sobre o comportamento das funções racionais para achar essas assíntotas.

Passo 2

Primeiro, vamos procurar as assíntotas verticais. Essas aparecem onde a função fica indefinida, ou seja, onde o denominador é zero.
Temos a função:
f(x) = x - 1x^2 + 1
Vamos igualar o denominador a zero:
x^2 + 1 = 0
Resolvendo essa equação:
x^2 = -1
Aqui, vemos que não existe nenhum número real que ao quadrado dê -1. Isso significa que a função não tem assíntotas verticais, porque o denominador nunca é zero para valores reais de $ x $.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Para funções racionais, a assíntota horizontal depende dos graus do polinômio do numerador e do denominador.
Nossa função é:
f(x) = x - 1x^2 + 1
O grau do numerador é 1 (porque o termo de maior grau é $ x $) e o grau do denominador é 2 (por $ x^{2} $). Quando o grau do denominador é maior que o grau do numerador, a assíntota horizontal é $ y = 0 $.

Passo 4

Vamos confirmar isso observando o comportamento de $ f(x) $ quando $ x $ tende para mais ou menos infinito.
f(x)
Então, o gráfico da função se aproxima de $ y = 0 $ quando $ x $ vai para o infinito positivo ou negativo. Portanto, $ y = 0 $ é a assíntota horizontal da função.

Resposta

A função $ f(x) = \frac{x - 1}{x^{2} + 1} $ não possui assíntotas verticais e possui uma assíntota horizontal em $ y = 0 $.

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