Ache o comprimento do arco traçado pelo ponto final da representação posicional de R(t) quando t cresce de 1 para 4 , se
R(t)=e^t sen(t) i+e^t cos (t) j

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco traçado pelo ponto final do vetor posição R(t) quando t vai de 1 para 4. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a fórmula para o comprimento de uma curva no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o comprimento de um arco. Imagine que você tem uma curva no plano, e quer saber qual a distância total percorrida ao seguir essa curva de um ponto inicial até um ponto final. Para calcular isso, usamos uma integral que leva em conta a velocidade com que o ponto se move ao longo da curva.

Passo 3

A fórmula para o comprimento do arco de uma curva parametrizada por $ \vec{R}(t) = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j} $ é:
R(t) = x(t)i + y(t)j
Aqui, L = integrala^b raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt e a são os valores que b assume, no nosso caso, de 1 a 4.

Passo 4

Vamos identificar x(t) e y(t) a partir do vetor posição dado:
R(t) = e^t sin(t) i + e^t cos(t) j
Então,
x(t) = e^t sin(t)
y(t) = e^t cos(t)

Passo 5

Agora, precisamos calcular as derivadas de x(t) e y(t) em relação a t:
Para x(t):
dxdt = ddt ( e^t sin(t) ) = e^t sin(t) + e^t cos(t)
Para y(t):
dydt = ddt ( e^t cos(t) ) = e^t cos(t) - e^t sin(t)

Passo 6

Vamos agora montar a expressão dentro da raiz da fórmula do comprimento do arco:
(dxdt)^2 + (dydt)^2 = ( e^t sin(t) + e^t cos(t) )^2 + ( e^t cos(t) - e^t sin(t) )^2
Vamos expandir esses quadrados:
= e^2t sin^2(t) + 2 e^2t sin(t)cos(t) + e^2t cos^2(t) + e^2t cos^2(t) - 2 e^2t sin(t)cos(t) + e^2t sin^2(t)

Passo 7

Simplificando os termos:
= e^2t (sin^2(t) + cos^2(t)) + e^2t (cos^2(t) + sin^2(t))
= e^2t (1) + e^2t (1)
= 2 e^2t

Passo 8

Agora, a fórmula do comprimento do arco fica:
L = integral1^4 raiz2 e^2t , dt = integral1^4 raiz2 e^t , dt
Porque raize^2t = e^t e raiz2 é uma constante que pode sair da integral.

Passo 9

Vamos calcular a integral:
L = raiz2 integral1^4 e^t , dt = raiz2 [ e^t ]1^4 = raiz2 (e^4 - e^1)

Passo 10

Calculando os valores:
L = raiz2 (e^4 - e)

Resposta

O comprimento do arco traçado pelo ponto final de R(t) quando t varia de 1 para 4 é raiz2 (e^4 - e).

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