Ache o comprimento do arco traçado pelo ponto final da representação posicional de
quando
cresce de 1 para 4 , se
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco traçado pelo ponto final do vetor posição
quando
vai de 1 para 4. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a fórmula para o comprimento de uma curva no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o comprimento de um arco. Imagine que você tem uma curva no plano, e quer saber qual a distância total percorrida ao seguir essa curva de um ponto inicial até um ponto final. Para calcular isso, usamos uma integral que leva em conta a velocidade com que o ponto se move ao longo da curva.
Passo 3
A fórmula para o comprimento do arco de uma curva parametrizada por $ \vec{R}(t) = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j} $ é:
Aqui,
e
são os valores que
assume, no nosso caso, de 1 a 4.
Passo 4
Vamos identificar
e
a partir do vetor posição dado:
Então,
Passo 5
Agora, precisamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Para
:
Para
:
Passo 6
Vamos agora montar a expressão dentro da raiz da fórmula do comprimento do arco:
Vamos expandir esses quadrados:
Passo 7
Simplificando os termos:
Passo 8
Agora, a fórmula do comprimento do arco fica:
Porque
e
é uma constante que pode sair da integral.
Passo 9
Vamos calcular a integral:
Passo 10
Calculando os valores:
Resposta
O comprimento do arco traçado pelo ponto final de
quando
varia de 1 para 4 é
.