Encontre o limite, se existir.
lim x 0^+(4 x+1)^cotg x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para encontrar o limite de (4x + 1)^cot(x) quando x se aproxima de 0 pela direita. Aqui, estamos trabalhando com limites envolvendo funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões com potências e aplicar propriedades de limites e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o limite de uma forma que facilite a resolução. Quando temos uma expressão do tipo a^b, onde a e b tendem a certos valores, pode ser útil usar logaritmos para simplificar. Então, considere:
L = limx to 0^+ (4x + 1)^cot(x)
Vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
ln(L) = limx to 0^+ cot(x) cdot ln(4x + 1)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o limite de cot(x) cdot ln(4x + 1) quando x tende a 0^+. Sabemos que cot(x) = cos(x)sin(x). Além disso, quando x tende a 0, ln(4x + 1) pode ser aproximado usando a expansão de Taylor para ln(1 + y) approx y quando y é pequeno. Então, temos:
ln(4x + 1) approx 4x
Substituindo na expressão:
ln(L) approx limx to 0^+ cos(x)sin(x) cdot 4x

Passo 4

Simplificamos a expressão anterior:
ln(L) approx limx to 0^+ 4x cos(x)sin(x)
Sabemos que limx to 0 sin(x)x = 1, então limx to 0 xsin(x) = 1. Além disso, cos(0) = 1. Portanto:
ln(L) = limx to 0^+ 4 cdot xsin(x) cdot cos(x) = 4 cdot 1 cdot 1 = 4

Passo 5

Agora que encontramos ln(L) = 4, para achar L, basta aplicar a função exponencial dos dois lados:
L = e^ln(L) = e^4

Resposta

O limite é e^4.

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