Encontre o limite, se existir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para encontrar o limite de
quando
se aproxima de
pela direita. Aqui, estamos trabalhando com limites envolvendo funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões com potências e aplicar propriedades de limites e logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o limite de uma forma que facilite a resolução. Quando temos uma expressão do tipo
, onde
e
tendem a certos valores, pode ser útil usar logaritmos para simplificar. Então, considere:
Vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o limite de
quando
tende a
. Sabemos que
. Além disso, quando
tende a
,
pode ser aproximado usando a expansão de Taylor para
quando
é pequeno. Então, temos:
Substituindo na expressão:
Passo 4
Simplificamos a expressão anterior:
Sabemos que
, então
. Além disso,
. Portanto:
Passo 5
Agora que encontramos
, para achar
, basta aplicar a função exponencial dos dois lados:
Resposta
O limite é
.