Calcule os seguintes limites:
(15 pts)
lim x 2(1-raiz3-xx-2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite quando x se aproxima de 2 da expressão:
lim x 2(1-raiz3-xx-2)
Aqui, estamos trabalhando com limites, que é um conceito importante em cálculo para entender o comportamento das funções perto de certos pontos. Para resolver esse tipo de limite, especialmente quando temos uma forma indeterminada como 00 , vamos precisar usar técnicas de álgebra para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o problema. Se tentarmos substituir x = 2 diretamente na expressão, temos:
1 - raiz3 - 22 - 2 = 1 - 10 = 00
Essa forma 00 é uma indeterminação, o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Uma técnica útil para resolver isso é racionalizar o numerador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do numerador para eliminar a raiz. A conjugada de 1 - raiz3 - x é 1 + raiz3 - x .
Então, fazemos:
1 - raiz3 - xx - 2 times 1 + raiz3 - x1 + raiz3 - x = (1 - raiz3 - x)(1 + raiz3 - x)(x - 2)(1 + raiz3 - x)

Passo 4

Agora, no numerador, aplicamos a identidade de produto pela soma e pela diferença:
(1 - raiz3 - x)(1 + raiz3 - x) = 1^2 - (raiz3 - x)^2 = 1 - (3 - x) = x - 2
Portanto, a expressão fica:
x - 2(x - 2)(1 + raiz3 - x)

Passo 5

Perceba que temos x - 2 tanto no numerador quanto no denominador. Podemos simplificar esses termos:
cancelx - 2cancelx - 2(1 + raiz3 - x) = 11 + raiz3 - x

Passo 6

Agora, a expressão ficou bem mais simples para calcular o limite. Substituímos x = 2 :
11 + raiz3 - 2 = 11 + raiz1 = 11 + 1 = 12

Resposta

O limite é 12 .

Exercícios relacionados