Calcule os seguintes limites:
(15 pts)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite quando
se aproxima de 2 da expressão:
Aqui, estamos trabalhando com limites, que é um conceito importante em cálculo para entender o comportamento das funções perto de certos pontos. Para resolver esse tipo de limite, especialmente quando temos uma forma indeterminada como
, vamos precisar usar técnicas de álgebra para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o problema. Se tentarmos substituir
diretamente na expressão, temos:
Essa forma
é uma indeterminação, o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Uma técnica útil para resolver isso é racionalizar o numerador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do numerador para eliminar a raiz. A conjugada de
é
.
Então, fazemos:
Passo 4
Agora, no numerador, aplicamos a identidade de produto pela soma e pela diferença:
Portanto, a expressão fica:
Passo 5
Perceba que temos
tanto no numerador quanto no denominador. Podemos simplificar esses termos:
Passo 6
Agora, a expressão ficou bem mais simples para calcular o limite. Substituímos
:
Resposta
O limite é
.