Encontre até a derivada de ordem 3 das funções abaixo:
\mathrm{y}=\left(2 \mathrm{x}^{3}-1\right)\left(x^{4}+\mathrm{x}^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar até a derivada de ordem 3 da função dada. As informações fornecidas são:
  • A função é y=(2x^{3}-1)(x^{4}+x^{2}).
  • Deve-se calcular \,y', \,y'' e \,y'''.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a função multiplicando os dois fatores — isso torna as derivadas diretas usando a regra da potência termo a termo. Multiplicando termo a termo:
y=(2x^{3}-1)(x^{4}+x^{2})=2x^{3}\cdot x^{4}+2x^{3}\cdot x^{2}-1\cdot x^{4}-1\cdot x^{2}.
Agora calculamos cada produto:
y=2x^{7}+2x^{5}-x^{4}-x^{2}.

Passo 3

Antes de derivar, recapitulação rápida da regra que vamos usar (aquela que salva a prova): regra da potência e linearidade.
  • Regra da potência: a derivada de \,x^{n} é \,n x^{n-1}, para qualquer inteiro n\ge 0.
  • Linearidade: a derivada de soma é soma das derivadas, e constantes factoram: \dfrac{d}{dx}\big(c\cdot f(x)\big)=c\cdot f'(x).
    Exemplos rápidos: \dfrac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}, \dfrac{d}{dx}(5x^{4})=5\cdot 4x^{3}=20x^{3}.

Passo 4

Agora derivamos termo a termo para obter a primeira derivada \,y'.
Derivando cada termo:
  • \dfrac{d}{dx}(2x^{7})=2\cdot 7x^{6}=14x^{6}.
  • \dfrac{d}{dx}(2x^{5})=2\cdot 5x^{4}=10x^{4}.
  • \dfrac{d}{dx}(-x^{4})=-1\cdot 4x^{3}=-4x^{3}.
  • \dfrac{d}{dx}(-x^{2})=-1\cdot 2x=-2x.
Somando:
y'=14x^{6}+10x^{4}-4x^{3}-2x.

Passo 5

Segunda derivada \,y'': derivamos \,y' termo a termo aplicando novamente a regra da potência.
Derivadas dos termos de \,y':
  • \dfrac{d}{dx}(14x^{6})=14\cdot 6x^{5}=84x^{5}.
  • \dfrac{d}{dx}(10x^{4})=10\cdot 4x^{3}=40x^{3}.
  • \dfrac{d}{dx}(-4x^{3})=-4\cdot 3x^{2}=-12x^{2}.
  • \dfrac{d}{dx}(-2x)=-2.
Somando:
y''=84x^{5}+40x^{3}-12x^{2}-2.

Passo 6

Terceira derivada \,y''': derivamos \,y'' termo a termo mais uma vez.
Derivadas dos termos de \,y'':
  • \dfrac{d}{dx}(84x^{5})=84\cdot 5x^{4}=420x^{4}.
  • \dfrac{d}{dx}(40x^{3})=40\cdot 3x^{2}=120x^{2}.
  • \dfrac{d}{dx}(-12x^{2})=-12\cdot 2x=-24x.
  • \dfrac{d}{dx}(-2)=0.
Somando:
y'''=420x^{4}+120x^{2}-24x.

Passo 7

Breve verificação por mentalidade de prova (opcional): poder-se-ia ter usado a regra do produto desde o começo — que diz (uv)'=u'v+uv' — e obter o mesmo y'. Expandir e usar a regra da potência costuma ser mais simples quando os fatores são polinômios, porque evita aplicar produto várias vezes.

Resposta

y'=14x^{6}+10x^{4}-4x^{3}-2x
y''=84x^{5}+40x^{3}-12x^{2}-2
y'''=420x^{4}+120x^{2}-24x

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