Encontre até a derivada de ordem 3 das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar até a derivada de ordem 3 da função dada. As informações fornecidas são:
- A função é
. - Deve-se calcular
, e .
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a função multiplicando os dois fatores — isso torna as derivadas diretas usando a regra da potência termo a termo. Multiplicando termo a termo:
Agora calculamos cada produto:
Passo 3
Antes de derivar, recapitulação rápida da regra que vamos usar (aquela que salva a prova): regra da potência e linearidade.
- Regra da potência: a derivada de
é , para qualquer inteiro . - Linearidade: a derivada de soma é soma das derivadas, e constantes factoram:
.
Exemplos rápidos:, .
Passo 4
Agora derivamos termo a termo para obter a primeira derivada
.
Derivando cada termo:
Derivando cada termo:
-
. -
. -
. -
.
Somando:
Passo 5
Segunda derivada
: derivamos
termo a termo aplicando novamente a regra da potência.
Derivadas dos termos de :
Derivadas dos termos de
-
. -
. -
. -
.
Somando:
Passo 6
Terceira derivada
: derivamos
termo a termo mais uma vez.
Derivadas dos termos de :
Derivadas dos termos de
-
. -
. -
. -
.
Somando:
Passo 7
Breve verificação por mentalidade de prova (opcional): poder-se-ia ter usado a regra do produto desde o começo — que diz
— e obter o mesmo
. Expandir e usar a regra da potência costuma ser mais simples quando os fatores são polinômios, porque evita aplicar produto várias vezes.