Calcule f^{\prime}(x) e f^{\prime \prime}(x) de:
f(x)=5 \operatorname{sen} x .2 \cos x

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas primeira e segunda de f. A função dada é
f(x)=5\\ \operatorname{sen}x \cdot 2\cos x.
Informações relevantes:
  • Há um ponto (um ponto médio) entre 5\operatorname{sen}x e 2\cos x, que vou interpretar como multiplicação, ou seja, f(x)=(5\operatorname{sen}x)\cdot(2\cos x).
  • Simplificando a multiplicação de escalares, isso dá f(x)=10\operatorname{sen}x\cos x.
  • O que se pede: calcular f^{\prime}(x) e f^{\prime\prime}(x).

Passo 2

Relembrando fórmulas básicas que vou usar (explicação curta e direta):
  • A derivada de \operatorname{sen}x é \dfrac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}x\big)=\cos x.
  • A derivada de \cos x é \dfrac{d}{dx}\big(\cos x\big)=-\sin x.
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, então
\dfrac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
  • Regra da cadeia: se g(x)=h(k(x)), então g'(x)=h'(k(x))\cdot k'(x).
Vou escolher o método mais simples: antes de derivar, simplificar a expressão trigonométrica usando a identidade dupla ângulo
\operatorname{sen}(2x)=2\operatorname{sen}x\cos x.
Isso torna a derivação direta (usa só a regra da cadeia). Também mostro depois a versão com regra do produto para reforçar.

Passo 3

Simplificação usando identidade dupla ângulo:
f(x)=10\operatorname{sen}x\cos x = 5\cdot\big(2\operatorname{sen}x\cos x\big) = 5\operatorname{sen}(2x).
Ou seja, escrevendo a função de forma mais simples:
f(x)=5\operatorname{sen}(2x).

Passo 4

Derivada primeira usando regra da cadeia (explicando cada parte):
  • Tome u(x)=2x e h(u)=\operatorname{sen}u, então f(x)=5\,h(u(x)).
  • Derivada de h(u) em relação a u é h'(u)=\cos u.
  • Derivada de u(x) é u'(x)=2.
  • Aplicando a regra da cadeia e a constante multiplicativa 5:
f'(x)=5\cdot \big(\cos(2x)\big)\cdot 2 = 10\cos(2x).
Portanto
f'(x)=10\cos(2x).

Passo 5

(Super rápido: alternativa com regra do produto para conferir)
  • Começando de f(x)=10\operatorname{sen}x\cos x, apliquei a regra do produto com u=\operatorname{sen}x e v=\cos x:
\begin{aligned} f'(x)&=10\big(u'v+uv'\big)\\[4pt] &=10\big(\cos x\cdot\cos x + \operatorname{sen}x\cdot(-\sin x)\big)\\[4pt] &=10\big(\cos^2 x - \sin^2 x\big). \end{aligned}
  • Usando a identidade de cosseno de ângulo duplo \cos(2x)=\cos^2 x-\sin^2 x, obtemos de novo
f'(x)=10\cos(2x),
confirmando o resultado da Passo 4.]

Passo 6

Agora a derivada segunda: diferencie f'(x)=10\cos(2x) usando regra da cadeia:
  • Derivada de \cos(2x) é -\sin(2x) vezes a derivada de 2x, que é 2.
  • Multiplicando pela constante 10:
f''(x)=10\cdot\big(-\sin(2x)\big)\cdot 2 = -20\sin(2x).
Também pode-se reescrever usando \operatorname{sen}(2x)=2\operatorname{sen}x\cos x:
f''(x)=-20\sin(2x)=-20\cdot(2\sin x\cos x)=-40\sin x\cos x.
Observação simpática: como f(x)=10\sin x\cos x, vemos que f''(x)=-4f(x). Isso é um vínculo legal entre f e suas derivadas.

Resposta

f'(x)=10\cos(2x)
f''(x)=-20\sin(2x)

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