Calcule
e
de:
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas primeira e segunda de
. A função dada é
Informações relevantes:
- Há um ponto (um ponto médio) entre
e , que vou interpretar como multiplicação, ou seja, . - Simplificando a multiplicação de escalares, isso dá
. - O que se pede: calcular
e .
Passo 2
Relembrando fórmulas básicas que vou usar (explicação curta e direta):
- A derivada de
é . - A derivada de
é . - Regra do produto: se
e são funções, então
- Regra da cadeia: se
, então .
Vou escolher o método mais simples: antes de derivar, simplificar a expressão trigonométrica usando a identidade dupla ângulo
Isso torna a derivação direta (usa só a regra da cadeia). Também mostro depois a versão com regra do produto para reforçar.
Passo 3
Simplificação usando identidade dupla ângulo:
Ou seja, escrevendo a função de forma mais simples:
Passo 4
Derivada primeira usando regra da cadeia (explicando cada parte):
- Tome
e , então . - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
é . - Aplicando a regra da cadeia e a constante multiplicativa
:
Portanto
Passo 5
(Super rápido: alternativa com regra do produto para conferir)
- Começando de
, apliquei a regra do produto com e :
- Usando a identidade de cosseno de ângulo duplo
, obtemos de novo
confirmando o resultado da Passo 4.]
Passo 6
Agora a derivada segunda: diferencie
usando regra da cadeia:
- Derivada de
é vezes a derivada de , que é . - Multiplicando pela constante
:
Também pode-se reescrever usando
:
Observação simpática: como
, vemos que
. Isso é um vínculo legal entre
e suas derivadas.