Calcule f^{\prime}(x) e f^{\prime \prime}(x) de:
f(x)=2 \cos x+5 \operatorname{sen} x-x^{2}+8

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=2\cos x+5\operatorname{sen} x-x^{2}+8
e pede para calcular \,f'(x) e \,f''(x).
Observação rápida: na escrita matemática em TeX vou usar \sin x para representar \operatorname{sen}x. Ou seja, \operatorname{sen}x \equiv \sin x.

Passo 2

Relembrando as regras de derivação que vamos usar (com explicação curta e amigável):
  • Linearidade: a derivada de uma soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas. Em símbolos:
\frac{d}{dx}\big( a(x)+b(x)\big)=\frac{d}{dx}a(x)+\frac{d}{dx}b(x).
Isto vale para coeficientes constantes também:
\frac{d}{dx}\big(c\cdot g(x)\big)=c\cdot\frac{d}{dx}g(x),
onde c é constante.
  • Derivada da função seno: a derivada de \sin x é \cos x:
\frac{d}{dx}\sin x=\cos x.
  • Derivada da função cosseno: a derivada de \cos x é -\sin x:
\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x.
  • Derivada de potência: para x^n com n inteiro positivo,
\frac{d}{dx}x^n = n x^{n-1}.
  • Derivada de constante: se C é constante, então
\frac{d}{dx}C=0.
Usando essas regras na prova dá para calcular rapidamente as derivadas termo a termo. Vou mostrar passo a passo para você conseguir reproduzir na hora da prova.

Passo 3

Aplicando linearidade, derivamos termo a termo:
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(2\cos x\big)+\frac{d}{dx}\big(5\sin x\big)-\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)+\frac{d}{dx}(8).
Agora calculamos cada derivada separadamente:
  • Para 2\cos x: usar constante 2 e \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x. Logo
\frac{d}{dx}\big(2\cos x\big)=2\cdot(-\sin x)=-2\sin x.
  • Para 5\sin x: usar constante 5 e \frac{d}{dx}\sin x=\cos x. Logo
\frac{d}{dx}\big(5\sin x\big)=5\cdot\cos x=5\cos x.
  • Para x^{2}: pela regra da potência,
\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=2x.
  • Para 8: é constante, então
\frac{d}{dx}(8)=0.

Passo 4

Juntando os resultados do passo anterior:
f'(x)=-2\sin x+5\cos x-2x.
Esse é o primeiro resultado pedido. É uma combinação simples: termo trigonométrico vindo das derivadas de seno e cosseno e termo polinomial vindo da derivada de x^2.

Passo 5

Agora calculamos a segunda derivada \,f''(x) derivando \,f'(x). Reaplicamos as mesmas regras (linearidade e derivadas de seno/cosseno/potência).
Partimos de
f'(x)=-2\sin x+5\cos x-2x.
Derivando termo a termo:
  • Para -2\sin x: \frac{d}{dx}\sin x=\cos x, então
\frac{d}{dx}\big(-2\sin x\big)=-2\cos x.
  • Para 5\cos x: \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x, então
\frac{d}{dx}\big(5\cos x\big)=5\cdot(-\sin x)=-5\sin x.
  • Para -2x: derivada de x é 1, então
\frac{d}{dx}\big(-2x\big)=-2.

Passo 6

Somando as derivadas obtidas:
f''(x)=-2\cos x-5\sin x-2.

Resposta

f'(x)=-2\sin x+5\cos x-2x
f''(x)=-2\cos x-5\sin x-2

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