Calcule
e
de:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular
e
.
Observação rápida: na escrita matemática em TeX vou usar
para representar
. Ou seja,
.
Passo 2
Relembrando as regras de derivação que vamos usar (com explicação curta e amigável):
- Linearidade: a derivada de uma soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas. Em símbolos:
Isto vale para coeficientes constantes também:
onde
é constante.
- Derivada da função seno: a derivada de
é :
- Derivada da função cosseno: a derivada de
é :
- Derivada de potência: para
com inteiro positivo,
- Derivada de constante: se
é constante, então
Usando essas regras na prova dá para calcular rapidamente as derivadas termo a termo. Vou mostrar passo a passo para você conseguir reproduzir na hora da prova.
Passo 3
Aplicando linearidade, derivamos termo a termo:
Agora calculamos cada derivada separadamente:
- Para
: usar constante e . Logo
- Para
: usar constante e . Logo
- Para
: pela regra da potência,
- Para
: é constante, então
Passo 4
Juntando os resultados do passo anterior:
Esse é o primeiro resultado pedido. É uma combinação simples: termo trigonométrico vindo das derivadas de seno e cosseno e termo polinomial vindo da derivada de
.
Passo 5
Agora calculamos a segunda derivada
derivando
. Reaplicamos as mesmas regras (linearidade e derivadas de seno/cosseno/potência).
Partimos de
Derivando termo a termo:
- Para
: , então
- Para
: , então
- Para
: derivada de é , então
Passo 6
Somando as derivadas obtidas: