Encontre, através do método de separação de variáveis, uma solução para o seguinte problema ( conhecido por problema para corda elástica).
em que
g(x) é a velocidade inicial da corda no ponto
x .
Passo 1
O enunciado pede uma solução da equação da onda
com condições de contorno
e condições iniciais
O método é separação de variáveis
+ séries de Fourier senoidais.
Passo 2
Vamos propor uma solução do tipo
Substituindo na PDE segue
e, dividindo por
a^2X(x)T(t) , obtemos
onde
lambda é a constante de separação.
Passo 3
A parte espacial satisfaz
com
X(0)=X(L)=0 . Isso leva aos autovalores
e autofunções
A parte temporal correspondente é
ou seja
cuja solução geral é
Passo 4
Somando todas as modos, a solução geral é
Aplicando
u(x,0)=0 temos
para todo
x , logo
Passo 5
Fica então
Derivando em
t e usando
ut(x,0)=g(x) , obtemos
Expandimos
g(x) em série de Fourier senoidal:
com
Comparando termos conclui-se
Passo 6
Substituindo
Bn e
omegan na solução geral, fica
onde