Encontre, através do método de separação de variáveis, uma solução para o seguinte problema ( conhecido por problema para corda elástica).
l ut t-a^2 ux x=0 0<x<L t>0 u(0, t)=u(L, t)=0 t >= 0 u(x, 0)=0 ut(x, 0)=g(x), 0 <= x <= L
em que g(x) é a velocidade inicial da corda no ponto x.

Passo 1

O enunciado pede uma solução da equação da onda
utt-a^2uxx=0, 0<x<L,;t>0
com condições de contorno
u(0,t)=u(L,t)=0, t>=0
e condições iniciais
u(x,0)=0, ut(x,0)=g(x), 0<= x<= L
O método é separação de variáveis + séries de Fourier senoidais.

Passo 2

Vamos propor uma solução do tipo
u(x,t)=X(x),T(t)
Substituindo na PDE segue
X(x),T''(t)-a^2X''(x),T(t)=0
e, dividindo por a^2X(x)T(t), obtemos
T''(t)a^2T(t)=X''(x)X(x)=-lambda,
onde lambda é a constante de separação.

Passo 3

A parte espacial satisfaz
X''+lambda X=0,
com X(0)=X(L)=0. Isso leva aos autovalores
lambdan=l(tfracnpiLr)^2, n=1,2,dots
e autofunções
Xn(x)=sinl(tfracnpi xLr)
A parte temporal correspondente é
Tn''+a^2lambdan,Tn=0
ou seja
Tn''+omegan^2,Tn=0, omegan=tfraca,npiL,
cuja solução geral é
Tn(t)=Ancos(omegan t)+Bnsin(omegan t)

Passo 4

Somando todas as modos, a solução geral é
u(x,t)=sumn=1^inftyl(Ancos(omegan t)+Bnsin(omegan t)r)sinl(tfracnpi xLr)
Aplicando u(x,0)=0 temos
sumn=1^infty Ansinl(tfracnpi xLr)=0
para todo x, logo
An=0(forall n)

Passo 5

Fica então
u(x,t)=sumn=1^inftyBnsin(omegan t),sinl(tfracnpi xLr)
Derivando em t e usando ut(x,0)=g(x), obtemos
g(x)=sumn=1^infty Bn,omegansinl(tfracnpi xLr)
Expandimos g(x) em série de Fourier senoidal:
g(x)=sumn=1^infty Gnsinl(tfracnpi xLr),
com
Gn=2Lintegral0^Lg(s),sinl(tfracnpi sLr),ds
Comparando termos conclui-se
Bn=Gnomegan

Passo 6

Substituindo Bn e omegan na solução geral, fica
u(x,t)=sumn=1^inftyGnomegan,sinl(tfracnpi xLr)sin(omegan t),
onde
omegan=a,npiL, Gn=2Lintegral0^Lg(s)sinl(tfracnpi sLr),ds

Resposta

u(x,t) =sumn=1^infty gl(2Lintegral0^Lg(s)sinl(tfracnpi sLr),dsgr), sinl(tfracnpi xLr),sinl(tfraca,npi tLr) tfraca,npiL

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