Faça o esboço do gráfico de y=x^3-12 x^2+44 x-48, sendo x=4 uma raiz.

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
y = x^3 - 12x^2 + 44x - 48
sabendo que x=4 é uma raiz. O conteúdo envolve fatoração de polinômios, análise de raízes, comportamento assintótico e extremos locais de uma função cúbica.

Passo 2

Vamos fatorar o polinômio pelo divisor conhecido (x-4). Usando divisão sintética ou divisão polinomial, temos
x^3 - 12x^2 + 44x - 48 = (x-4)l(x^2-8x+12r)

Passo 3

A segunda parte fatora-se em
x^2-8x+12 = (x-2)(x-6)
Logo todas as raízes reais são
x=2, x=4, x=6

Passo 4

Como o coeficiente de x^3 é positivo, ao avançar para a direita ( xto+infty) temos yto+infty, e para a esquerda ( xto-infty) temos yto-infty.

Passo 5

Para encontrar extremos locais, derivamos:
y' = 3x^2 - 24x + 44
Resolvendo y'=0:
3x^2 - 24x + 44 = 0 Longrightarrow x = 24 pm raiz24^2-4cdot3cdot442cdot3 = 24 pm raiz576 - 5286 = 24 pm raiz486 = 4 pm raiz486 approx 4 pm 1,155
Chamemos
x1approx 2,845, x2approx 5,155

Passo 6

Calculamos os valores de y nesses pontos:
Para x1approx2,845:
y(2,845)approx (2,845)^3-12(2,845)^2+44(2,845)-48approx 3,12,
é um máximo local.
Para x2approx5,155:
y(5,155)approx (5,155)^3-12(5,155)^2+44(5,155)-48approx -3,12,
é um mínimo local.

Passo 7

Juntando tudo para o esboço:
  • Raízes em x=2 (cruza de baixo para cima), x=4 (de cima para baixo) e x=6 (de baixo para cima).
  • Extremo máximo em l(2,845,,3,12r).
  • Extremo mínimo em l(5,155,,-3,12r).
  • Como xto-infty, yto-infty; como xto+infty, yto+infty.

Resposta

O gráfico é uma curva cúbica que:
  1. Vem de (-infty,-infty),
  2. Sobe, cruza o eixo x em x=2, atinge o máximo em l(2,845,3,12r),
  3. Desce, cruza o eixo em x=4, continua descendo até o mínimo em l(5,155,-3,12r),
  4. Finalmente sobe e cruza o eixo em x=6, seguindo para (+infty,+infty).

Exercícios relacionados