Faça o esboço do gráfico de
, sendo
uma raiz.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
sabendo que
é uma raiz. O conteúdo envolve fatoração de polinômios, análise de raízes, comportamento assintótico e extremos locais de uma função cúbica.
Passo 2
Vamos fatorar o polinômio pelo divisor conhecido
. Usando divisão sintética ou divisão polinomial, temos
Passo 3
A segunda parte fatora-se em
Logo todas as raízes reais são
Passo 4
Como o coeficiente de
é positivo, ao avançar para a direita (
) temos
, e para a esquerda (
) temos
.
Passo 5
Para encontrar extremos locais, derivamos:
Resolvendo
:
Chamemos
Passo 6
Calculamos os valores de
nesses pontos:
Para :
Para
é um máximo local.
Para :
Para
é um mínimo local.
Passo 7
Juntando tudo para o esboço:
- Raízes em
(cruza de baixo para cima), (de cima para baixo) e (de baixo para cima). - Extremo máximo em
. - Extremo mínimo em
. - Como
, ; como , .
Resposta
O gráfico é uma curva cúbica que:
- Vem de
, - Sobe, cruza o eixo
em , atinge o máximo em , - Desce, cruza o eixo em
, continua descendo até o mínimo em , - Finalmente sobe e cruza o eixo em
, seguindo para .