Encontre os autovalores, os autoespaços associados, calcule as multiplicidades algébrica e geométrica, em seguida conclua quais das seguintes transformações lineares são diagonalizáveis.
T: P3(R) longrightarrow P3(R), T(p(x))=p(x)+p^prime(x)+x^2 p^prime prime(x); (Luana)

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autoespaços da transformação linear
Tcolon P3(R)toP3(R), Tl(p(x)r)=p(x)+p'(x)+x^2p''(x),
além das multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor, e em seguida verificar se T é diagonalizável. Para isso vamos representar T na base padrão
1,x,x^2,x^3, encontrar a matriz, seus valores próprios e resolver os sistemas (M-lambda I)v=0.

Passo 2

Aplicando T aos vetores da base:
T(1)&=1, T(x)&=x+1, T(x^2)&=x^2+2x+ x^2cdot2=3x^2+2x, T(x^3)&=x^3+3x^2+x^2cdot(6x)=7x^3+3x^2
Na base 1,x,x^2,x^3 isso dá a matriz triangular superior
M= 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 2 & 0 0 & 0 & 3 & 3 0 & 0 & 0 & 7
Como é triangular, os autovalores são lambda=1 (dupla), lambda=3 e lambda=7, com multiplicidades algébricas
ma(1)=2, ma(3)=1, ma(7)=1

Passo 3

Para resolvemos , ou seja
que dá , , e livre. Logo
isto é, o autoespaço é e a multiplicidade geométrica é .

Passo 4

Para resolvemos :
que leva a , , . Assim
isto é, o autoespaço é e .

Passo 5

Para resolvemos :
que dá , , . Logo
ou seja, autoespaço e .

Passo 6

Comparando as multiplicidades algébrica e geométrica vemos que para lambda=1 temos ma(1)=2 e mg(1)=1, logo falta uma dimensão de autoespaço. Assim T não é diagonalizável.

Resposta

Autovalores e autoespaços:
, , , ;
, , ;
, , .
Portanto não é diagonalizável.

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