Encontre os autovalores, os autoespaços associados, calcule as multiplicidades algébrica e geométrica, em seguida conclua quais das seguintes transformações lineares são diagonalizáveis. ; (Luana)
Passo 1
O enunciado pede os autovalores e autoespaços da transformação linear
além das multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor, e em seguida verificar se é diagonalizável. Para isso vamos representar na base padrão , encontrar a matriz, seus valores próprios e resolver os sistemas .
Passo 2
Aplicando aos vetores da base:
Na base isso dá a matriz triangular superior
Como é triangular, os autovalores são lambda=1 (dupla), lambda=3 e lambda=7, com multiplicidades algébricas
ma(1)=2, ma(3)=1, ma(7)=1
Passo 3
Para resolvemos , ou seja
que dá , , e livre. Logo
isto é, o autoespaço é e a multiplicidade geométrica é .
Passo 4
Para resolvemos :
que leva a , , . Assim
isto é, o autoespaço é e .
Passo 5
Para resolvemos :
que dá , , . Logo
ou seja, autoespaço e .
Passo 6
Comparando as multiplicidades algébrica e geométrica vemos que para lambda=1 temos ma(1)=2 e mg(1)=1, logo falta uma dimensão de autoespaço. Assim Tnão é diagonalizável.
Resposta
Autovalores e autoespaços: , , , ; , , ; , , .
Portanto não é diagonalizável.