Se A=(ai j)5 times 2 B=(bi j)5 times 2 são tais que ai j=2(i-j) e bi j=cli j & se i <= j i-3 & se i>j.Encontre:
(a) A e B;
(b) B^t=(B^t é a matriz transposta de B);
(c) a fórmula geral para obter cada ci j através dos índices i e j onde (ci j)=A B^t;
(d) C=A cdot B^t;
(e) o elemento r43 da matriz resultante R=C^2
(f) a matriz X=(xi j) onde 6 X-2 A=9 B;
(g) a matriz E=12 B^t A;
(h) caso exista, uma matriz X=(xi j)5 times 5 que satisfaça: E X=I2 (R: X=[cc13 & 736 -13 & -518])

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes juntos! O enunciado nos dá duas matrizes, A e B, com tamanhos 5 times 2. A gente precisa calcular diversas coisas sobre elas, como transpostas, produtos, elementos específicos, e até resolver uma equação matricial. Para isso, vamos precisar entender operações básicas com matrizes, como multiplicação, transposição e manipulação de elementos individuais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as matrizes A e B.
Para a matriz A, temos aij = 2(i - j). Isso significa que cada elemento da matriz é calculado multiplicando 2 pela diferença entre o índice da linha i e o índice da coluna j.
Já para a matriz B, a fórmula é um pouco diferente:
  • Se i <= j, então bij = i times j.
  • Se i > j, então bij = i - 3.
Vamos preencher cada posição das matrizes seguindo essas regras.

Passo 3

Vamos montar a matriz A 5 times 2 usando aij = 2(i - j):
A = 2(1-1) & 2(1-2) 2(2-1) & 2(2-2) 2(3-1) & 2(3-2) 2(4-1) & 2(4-2) 2(5-1) & 2(5-2) = 0 & -2 2 & 0 4 & 2 6 & 4 8 & 6

Passo 4

Agora, vamos construir a matriz B 5 times 2 com a regra dada:
  1. Para i = 1:
    • j = 1 (1 ≤ 1): b11 = 1 times 1 = 1
    • j = 2 (1 ≤ 2): b12 = 1 times 2 = 2
  2. Para i = 2:
    • j = 1 (2 > 1): b21 = 2 - 3 = -1
    • j = 2 (2 ≤ 2): b22 = 2 times 2 = 4
  3. Para i = 3:
    • j = 1 (3 > 1): b31 = 3 - 3 = 0
    • j = 2 (3 > 2): b32 = 3 - 3 = 0
  4. Para i = 4:
    • j = 1 (4 > 1): b41 = 4 - 3 = 1
    • j = 2 (4 > 2): b42 = 4 - 3 = 1
  5. Para i = 5:
    • j = 1 (5 > 1): b51 = 5 - 3 = 2
    • j = 2 (5 > 2): b52 = 5 - 3 = 2
Então:
B = 1 & 2 -1 & 4 0 & 0 1 & 1 2 & 2

Passo 5

Agora que temos A e B, vamos encontrar a matriz transposta de B, que é B^t. A transposição troca linhas por colunas.
Então, se B é 5 times 2, B^t será 2 times 5:
B^t = 1 & -1 & 0 & 1 & 2 2 & 4 & 0 & 1 & 2

Passo 6

Vamos encontrar a fórmula geral para cada elemento cij na matriz produto C = A cdot B^t.
A multiplicação de matrizes é feita somando o produto dos elementos correspondentes das linhas de A com as colunas de B^t.
Como A é 5 times 2 e B^t é 2 times 5, C será uma matriz 5 times 5.
A fórmula geral é:
cij = ai1 times bj1 + ai2 times bj2
Onde:
  • ai1 e ai2 são os elementos da linha i de A.
  • bj1 e bj2 são os elementos da coluna j de B^t.

Passo 7

Vamos calcular a matriz C = A cdot B^t usando a fórmula que encontramos.
Vamos fazer isso passo a passo para cada elemento cij:
  1. Primeira linha de C ( i=1):
    • c11 = 0 times 1 + (-2) times 2 = 0 - 4 = -4
    • c12 = 0 times (-1) + (-2) times 4 = 0 - 8 = -8
    • c13 = 0 times 0 + (-2) times 0 = 0 + 0 = 0
    • c14 = 0 times 1 + (-2) times 1 = 0 - 2 = -2
    • c15 = 0 times 2 + (-2) times 2 = 0 - 4 = -4
  2. Segunda linha de C ( i=2):
    • c21 = 2 times 1 + 0 times 2 = 2 + 0 = 2
    • c22 = 2 times (-1) + 0 times 4 = -2 + 0 = -2
    • c23 = 2 times 0 + 0 times 0 = 0 + 0 = 0
    • c24 = 2 times 1 + 0 times 1 = 2 + 0 = 2
    • c25 = 2 times 2 + 0 times 2 = 4 + 0 = 4
  3. Terceira linha de C ( i=3):
    • c31 = 4 times 1 + 2 times 2 = 4 + 4 = 8
    • c32 = 4 times (-1) + 2 times 4 = -4 + 8 = 4
    • c33 = 4 times 0 + 2 times 0 = 0 + 0 = 0
    • c34 = 4 times 1 + 2 times 1 = 4 + 2 = 6
    • c35 = 4 times 2 + 2 times 2 = 8 + 4 = 12
  4. Quarta linha de C ( i=4):
    • c41 = 6 times 1 + 4 times 2 = 6 + 8 = 14
    • c42 = 6 times (-1) + 4 times 4 = -6 + 16 = 10
    • c43 = 6 times 0 + 4 times 0 = 0 + 0 = 0
    • c44 = 6 times 1 + 4 times 1 = 6 + 4 = 10
    • c45 = 6 times 2 + 4 times 2 = 12 + 8 = 20
  5. Quinta linha de C ( i=5):
    • c51 = 8 times 1 + 6 times 2 = 8 + 12 = 20
    • c52 = 8 times (-1) + 6 times 4 = -8 + 24 = 16
    • c53 = 8 times 0 + 6 times 0 = 0 + 0 = 0
    • c54 = 8 times 1 + 6 times 1 = 8 + 6 = 14
    • c55 = 8 times 2 + 6 times 2 = 16 + 12 = 28
Portanto, a matriz C fica:
C = -4 & -8 & 0 & -2 & -4 2 & -2 & 0 & 2 & 4 8 & 4 & 0 & 6 & 12 14 & 10 & 0 & 10 & 20 20 & 16 & 0 & 14 & 28

Passo 8

Para encontrar o elemento r43 da matriz resultante R = C^2, primeiro precisamos calcular C^2, que é a multiplicação de C por ela mesma.
No entanto, como estamos interessados apenas no elemento r43, vamos focar apenas nessa posição.
A posição r43 corresponde à linha 4 e coluna 3 de R.
A fórmula para r43 é:
r43 = sumk=1^5 c4k times ck3
Observando a matriz C, notamos que todos os elementos da terceira coluna de C são zero ( c13 = c23 = c33 = c43 = c53 = 0).
Então:
r43 = c41 times c13 + c42 times c23 + c43 times c33 + c44 times c43 + c45 times c53 = 14 times 0 + 10 times 0 + 0 times 0 + 10 times 0 + 20 times 0 = 0

Resposta

A = 0 & -2 2 & 0 4 & 2 6 & 4 8 & 6 ,
B = 1 & 2 -1 & 4 0 & 0 1 & 1 2 & 2 ,
B^t = 1 & -1 & 0 & 1 & 2 2 & 4 & 0 & 1 & 2 ,
a fórmula geral para cij é cij = ai1 times bj1 + ai2 times bj2,
C = A cdot B^t = -4 & -8 & 0 & -2 & -4 2 & -2 & 0 & 2 & 4 8 & 4 & 0 & 6 & 12 14 & 10 & 0 & 10 & 20 20 & 16 & 0 & 14 & 28 ,
o elemento r43 da matriz R = C^2 é 0.

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