Sejam
e
matrizes ortogonais. Prove que:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas matrizes,
e
, que são matrizes ortogonais. Nosso objetivo aqui é provar que o determinante de
, ou seja,
, é igual a
. Para isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra linear, como propriedades de matrizes ortogonais e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz ortogonal. Uma matriz
é dita ortogonal se ela satisfaz a seguinte condição:
Aqui,
é a matriz transposta de
e
é a matriz identidade. Isso basicamente significa que os vetores coluna de
são ortogonais entre si e têm norma 1.
Passo 3
Agora, vamos aproveitar essa propriedade para relacionar os determinantes. Sabemos que o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes:
Mas também sabemos que o determinante da transposta de uma matriz é igual ao determinante da própria matriz:
Então, substituindo isso na equação anterior, temos:
Passo 4
Sabemos que o determinante da matriz identidade
é 1:
Portanto, a equação fica:
Passo 5
Agora, para encontrar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados da equação:
Resposta
Então, provamos que o determinante de uma matriz ortogonal
é
.