Sejam A e B matrizes ortogonais. Prove que:
det(A)= pm 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas matrizes, A e B , que são matrizes ortogonais. Nosso objetivo aqui é provar que o determinante de A , ou seja, det(A) , é igual a pm 1 . Para isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra linear, como propriedades de matrizes ortogonais e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz ortogonal. Uma matriz A é dita ortogonal se ela satisfaz a seguinte condição:
A^T A = I
Aqui, A^T é a matriz transposta de A e I é a matriz identidade. Isso basicamente significa que os vetores coluna de A são ortogonais entre si e têm norma 1.

Passo 3

Agora, vamos aproveitar essa propriedade para relacionar os determinantes. Sabemos que o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes:
det(A^T A) = det(A^T) cdot det(A)
Mas também sabemos que o determinante da transposta de uma matriz é igual ao determinante da própria matriz:
det(A^T) = det(A)
Então, substituindo isso na equação anterior, temos:
det(A)^2 = det(I)

Passo 4

Sabemos que o determinante da matriz identidade I é 1:
det(I) = 1
Portanto, a equação fica:
det(A)^2 = 1

Passo 5

Agora, para encontrar det(A) , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados da equação:
det(A) = pm 1

Resposta

Então, provamos que o determinante de uma matriz ortogonal A é det(A) = pm 1 .

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