Encontre os autovalores, os autoespaços associados, calcule as multiplicidades algébrica e geométrica, em seguida conclua quais das seguintes transformações lineares são diagonalizáveis. (Francisco Josue)
Passo 1
O enunciado define por
Pede-se os autovalores de , os autoespaços associados, as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor, e concluir se é diagonalizável. O conteúdo envolve representação matricial de operadores em , cálculo de polinômio característico e autoespaços, e critério de diagonalização.
Passo 2
Escolhemos a base canônica . Para temos e . Logo
Em particular
A matriz de na base é
Passo 3
O polinômio característico de A é
det(A-lambda I)=(-lambda)(1-lambda)(2-lambda),
de onde os autovalores são
lambda1=0, lambda2=1, lambda3=2,
cada um com multiplicidade algébrica igual a 1.
Passo 4
Para cada autovalor resolvemos (A-lambda I)v=0:
Para lambda=0 vem v=(1,0,0), logo
E0=span1, dim E0=1
Para lambda=1 vem v=(1,1,0), logo
E1=span1+x, dim E1=1
Para lambda=2 vem v=(2,2,1), logo
E2=span2+2x+x^2, dim E2=1
Em cada caso a multiplicidade geométrica coincide com a algébrica.
Passo 5
Como
dim E0+dim E1+dim E2 =1+1+1 =dim P2( R),
o operador T é diagonalizável.
Resposta
Autovalores: 0,1,2.
Autoespaços: E0=span1, E1=span1+x, E2=span2+2x+x^2.
Multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor: todas iguais a 1.
Conclusão: T é diagonalizável.