Encontre os autovalores, os autoespaços associados, calcule as multiplicidades algébrica e geométrica, em seguida conclua quais das seguintes transformações lineares são diagonalizáveis.
T: P2(R) longrightarrow P2(R), T(p(x))=(1+x) p^prime(x)+p^prime prime(x) ;(Francisco Josue)

Passo 1

O enunciado define T: P2( R)to P2( R) por
Tl(p(x)r)=(1+x)p'(x)+p''(x)
Pede-se os autovalores de T, os autoespaços associados, as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor, e concluir se T é diagonalizável. O conteúdo envolve representação matricial de operadores em P2( R), cálculo de polinômio característico e autoespaços, e critério de diagonalização.

Passo 2

Escolhemos a base canônica 1,x,x^2. Para p(x)=a+bx+cx^2 temos p'(x)=b+2cx e p''(x)=2c. Logo
T(a+bx+cx^2)=(1+x)(b+2cx)+2c =b+2cx+bx+2cx^2+2c =(b+2c)+(b+2c)x+2c,x^2
Em particular
T(1)=0, T(x)=1+x, T(x^2)=2+2x+2x^2
A matriz de T na base 1,x,x^2 é
A= 0 & 1 & 2 0 & 1 & 2 0 & 0 & 2

Passo 3

O polinômio característico de A é
det(A-lambda I)=(-lambda)(1-lambda)(2-lambda),
de onde os autovalores são
lambda1=0, lambda2=1, lambda3=2,
cada um com multiplicidade algébrica igual a 1.

Passo 4

Para cada autovalor resolvemos (A-lambda I)v=0:
  • Para lambda=0 vem v=(1,0,0), logo
E0=span1, dim E0=1
  • Para lambda=1 vem v=(1,1,0), logo
E1=span1+x, dim E1=1
  • Para lambda=2 vem v=(2,2,1), logo
E2=span2+2x+x^2, dim E2=1
Em cada caso a multiplicidade geométrica coincide com a algébrica.

Passo 5

Como
dim E0+dim E1+dim E2 =1+1+1 =dim P2( R),
o operador T é diagonalizável.

Resposta

Autovalores: 0,1,2.
Autoespaços: E0=span1, E1=span1+x, E2=span2+2x+x^2.
Multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor: todas iguais a 1.
Conclusão: T é diagonalizável.

Exercícios relacionados