Encontre os autovalores e autoespaços relacionadas das transformações lineares abaixo:
T: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, dada por T(x)=3 x.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os autovalores e os autoespaços relativos à transformação linear T:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} dada por T(x)=3x.
Informações fornecidas pelo enunciado:
  • Domínio e contradomínio: \mathbb{R}.
  • Regra da transformação: para todo x\in\mathbb{R}, T(x)=3x.
  • A tarefa é determinar todos os valores escalares \lambda (autovalores) e, para cada um, o conjunto de vetores v que satisfazem T(v)=\lambda v (autoespaço correspondente).

Passo 2

Recordando a definição (rápido e claro): um número \lambda é autovalor de T se existe um vetor não-nulo v tal que
T(v)=\lambda v.
O autoespaço associado a \lambda é
E_{\lambda}=\{v\in V \mid T(v)=\lambda v\},
que é sempre um subespaço do espaço vetorial. Note que o autoespaço contém o vetor nulo, mas vetores próprios (autovetores) são os elementos não-nulos de E_{\lambda}.

Passo 3

Aplicando a equação de autovalor à nossa transformação: para x\in\mathbb{R} e um escalar \lambda devemos ter
T(x)=\lambda x.
Substituindo T(x)=3x obtemos
3x=\lambda x.
Reescrevendo,
(3-\lambda)x=0.

Passo 4

Analisando a equação (3-\lambda)x=0. Em \mathbb{R} o produto de dois números é zero se, e somente se, pelo menos um dos fatores é zero. Assim existem duas possibilidades:
  • Se 3-\lambda=0, então \lambda=3. Nesse caso a equação fica 0\cdot x=0, que é verdadeira para todo x\in\mathbb{R}. Portanto qualquer x\in\mathbb{R} satisfaz T(x)=3x. Como autovetores precisam ser não-nulos, qualquer x\neq 0 é um autovetor associado a \lambda=3. Logo o autoespaço correspondente é todo \mathbb{R}:
E_{3}=\mathbb{R}.
Uma base conveniente de E_{3} é \{1\} (pois todo x\in\mathbb{R} é x\cdot 1). A dimensão de E_{3} é 1.

Passo 5

  • Se 3-\lambda\neq 0, então da equação (3-\lambda)x=0 segue que x=0. Ou seja, o único vetor que satisfaz T(x)=\lambda x é o vetor nulo. Isso significa que não há autovetores não-nulos para esse \lambda, portanto \lambda não é autovalor. O autoespaço correspondente é o subespaço trivial:
E_{\lambda}=\{0\}\quad\text{para toda }\lambda\neq 3.

Passo 6

Interpretação geométrica e intuição prática (uma ajudinha motivadora): T é simplesmente a aplicação que escala todos os números por 3. Quando uma transformação só escala vetores por um fator fixo c, todo vetor não-nulo é autovetor com autovalor c. Aqui o fator é 3, então todo vetor é próprio para \lambda=3. Não há outros autovalores.

Resposta

O único autovalor é \lambda=3, com autoespaço E_{3}=\mathbb{R}.
Para todo \lambda\neq 3 tem-se E_{\lambda}=\{0\}.

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