Encontre os autovalores e autoespaços relacionadas das transformações lineares abaixo:
, dada por
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os autovalores e os autoespaços relativos à transformação linear
dada por
.
Informações fornecidas pelo enunciado:
- Domínio e contradomínio:
. - Regra da transformação: para todo
, . - A tarefa é determinar todos os valores escalares
(autovalores) e, para cada um, o conjunto de vetores que satisfazem (autoespaço correspondente).
Passo 2
Recordando a definição (rápido e claro): um número
é autovalor de
se existe um vetor não-nulo
tal que
O autoespaço associado a
é
que é sempre um subespaço do espaço vetorial. Note que o autoespaço contém o vetor nulo, mas vetores próprios (autovetores) são os elementos não-nulos de
.
Passo 3
Aplicando a equação de autovalor à nossa transformação: para
e um escalar
devemos ter
Substituindo
obtemos
Reescrevendo,
Passo 4
Analisando a equação
. Em
o produto de dois números é zero se, e somente se, pelo menos um dos fatores é zero. Assim existem duas possibilidades:
- Se
, então . Nesse caso a equação fica , que é verdadeira para todo . Portanto qualquer satisfaz . Como autovetores precisam ser não-nulos, qualquer é um autovetor associado a . Logo o autoespaço correspondente é todo :
Uma base conveniente de
é
(pois todo
é
). A dimensão de
é
.
Passo 5
- Se
, então da equação segue que . Ou seja, o único vetor que satisfaz é o vetor nulo. Isso significa que não há autovetores não-nulos para esse , portanto não é autovalor. O autoespaço correspondente é o subespaço trivial:
Passo 6
Interpretação geométrica e intuição prática (uma ajudinha motivadora):
é simplesmente a aplicação que escala todos os números por
. Quando uma transformação só escala vetores por um fator fixo
, todo vetor não-nulo é autovetor com autovalor
. Aqui o fator é
, então todo vetor é próprio para
. Não há outros autovalores.
Resposta
O único autovalor é
, com autoespaço
.
Para todo tem-se
.
Para todo