Encontre os autovalores e autoespaços relacionadas das transformações lineares abaixo: T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2}, dada por T(x, y)=(4 x+5 y, 3 x+2 y).
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por
T(x,y)=(4x+5y,\;3x+2y).
O que ele pede:
Encontrar os autovalores (ou seja, os valores \lambda tais que existe vetor não-nulo v com T(v)=\lambda v).
Determinar os autoespaços associados a cada autovalor (isto é, o conjunto de todos os vetores próprios correspondentes, que é um subespaço de \mathbb{R}^2).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A matriz que representa T na base canônica de \mathbb{R}^2 é
Precisamos resolver A v = \lambda v para \lambda\in\mathbb{R} e v\neq 0.]
Passo 2
Conceito e condição que vamos usar (explicação didática):
Um número \lambda é autovalor de T se existe vetor não-nulo v tal que T(v)=\lambda v. Em termos de matriz isso fica
A v = \lambda v.
Reescrevendo:
(A-\lambda I)v = 0.
Isto é um sistema homogêneo. Para que exista solução não-trivial (v\neq 0), a matriz A-\lambda I deve ser singular, ou seja, deve ter determinante zero:
\det(A-\lambda I)=0.
Essa equação em \lambda chama-se polinômio característico; suas raízes são os autovalores.
Passo 3
Vamos montar o polinômio característico. Subtraindo \lambda na diagonal:
As duas equações são equivalentes (a segunda é -1\] vezes a primeira). Da primeira:
\[-3x + 5y = 0 \quad\Rightarrow\quad 5y = 3x \quad\Rightarrow\quad y = \frac{3}{5}x.\]
Portanto os vetores próprios têm a forma
\[\begin{pmatrix}x\\[2pt] y\end{pmatrix} = x\begin{pmatrix}1\\[2pt] 3/5\end{pmatrix} = x\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}5\\[2pt] 3\end{pmatrix}.\]
Escolhendo um vetor inteiro conveniente como gerador (multiplicando por \(5), obtemos o vetor próprio \begin{pmatrix}5\\[2pt] 3\end{pmatrix}. Assim o autoespaço é
Escolhendo o gerador \begin{pmatrix}1\\[2pt] -1\end{pmatrix}\] (mudar sinal é permitido), podemos escrever o autoespaço como
\[E_{-1} = \operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}1\\[2pt] -1\end{pmatrix}\right\}.\]
Qualquer múltiplo não-nulo de \(\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix} é um vetor próprio associado a \lambda=-1.]
Passo 8
Resumo e comentário final (útil na prova):
Encontramos dois autovalores distintos \lambda=7 e \lambda=-1.
Para cada autovalor o autoespaço tem dimensão 1 (cada um é gerado por um vetor não-nulo). Como há dois autovalores distintos em \mathbb{R}^2, existem dois vetores próprios linearmente independentes; isso implica que a matriz A é diagonalizável (informação extra, útil às vezes).