Determinar uma base para \operatorname{Ker}(\mathrm{T}) e uma base para \operatorname{Im}(\mathrm{T}).
Passo 1
O enunciado nos dá a transformação linear T: \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T(x,y,z)=(z-x,\;y,\;-y).
O que o exercício pede:
Determinar uma base para \operatorname{Ker}(T).
Determinar uma base para \operatorname{Im}(T).
Informações relevantes fornecidas:
A fórmula explícita de T para um vetor arbitrário (x,y,z).
Não há outras restrições; trabalhar em \mathbb{R}^{3} com a base canônica padrão será natural.
Passo 2
Entendendo o que significa trabalhar com a transformação linear: uma forma prática é escrever a matriz de T na base canônica \{e_1,e_2,e_3\}, onde e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1). Cada coluna da matriz de T é T(e_i). Vamos calcular:
T(e_1)=T(1,0,0)=(0-1,\;0,\;0)=(-1,0,0),
T(e_2)=T(0,1,0)=(0,\;1,\;-1)=(0,1,-1),
T(e_3)=T(0,0,1)=(1,\;0,\;0)=(1,0,0).
Portanto a matriz de T em relação à base canônica é
Usando a fórmula de T, impondo T(x,y,z)=(0,0,0) dá o sistema
z-x=0,
y=0,
-y=0.
As duas últimas equações são equivalentes e dão y=0. A primeira dá z=x. Logo os vetores do núcleo têm a forma
(x,0,z) \text{ com } z=x,
ou seja
(x,0,x)=x\,(1,0,1),\qquad x\in\mathbb{R}.
Isso mostra que \operatorname{Ker}(T) é uma reta (subespaço de dimensão 1) gerada por (1,0,1). Portanto uma base conveniente do núcleo é
\{(1,0,1)\}.
Explicação didática rápida: para achar o núcleo resolve-se T(v)=0. Aqui as equações são simples e mostram que só existe liberdade em um parâmetro x, então o núcleo é gerado por um único vetor.
Passo 4
Agora vamos achar \operatorname{Im}(T). Por definição, \operatorname{Im}(T) é o subespaço gerado pelas imagens dos vetores de \mathbb{R}^3. Uma forma direta é usar as colunas da matriz A:
Observação óbvia: (1,0,0) é múltiplo de (-1,0,0) (especificamente (1,0,0)=-1\cdot(-1,0,0)), então as colunas T(e_1) e T(e_3) são linearmente dependentes. Logo basta considerar (-1,0,0) e (0,1,-1) como geradores.
Para ficar mais intuitivo, note também que um vetor genérico da imagem tem a forma
T(x,y,z)=(z-x,\;y,\;-y)=(a,b,-b),
onde a=z-x e b=y são parâmetros livres (pois podemos escolher x,z,y para obter qualquer a,b). Portanto
Isso é claramente um subespaço de dimensão 2, e uma base natural é dada escolhendo os pares (a,b)=(1,0) e (0,1), que geram os vetores
(1,0,0)\quad\text{e}\quad(0,1,-1).
Esses dois vetores são linearmente independentes (um tem segunda componente 0 e o outro tem segunda componente 1, portanto não são múltiplos um do outro), então formam uma base de \operatorname{Im}(T).
Passo 5
Verificação rápida usando o teorema do posto-nulidade (só para confirmar consistência): \dim(\operatorname{Ker}(T))=1 (achado) e \dim(\operatorname{Im}(T))=2 (achado). Como o espaço domínio é \mathbb{R}^3, faz sentido 1+2=3, ou seja, posto mais nulidade igual a 3. Tudo consistente.
Resposta
Base de \operatorname{Ker}(T): \{(1,0,1)\}
Base de \operatorname{Im}(T): \{(1,0,0),\;(0,1,-1)\}