Seja o operador linear:
Determine o polinômio característico de T e seus autovalores e autovetores.
Passo 1
O enunciado dá o operador linear sobre
O que se pede:
- Determinar o polinômio característico de
. - Determinar os autovalores (autovalores = valores próprios) de
. - Determinar vetores próprios (autovetores) correspondentes a cada autovalor.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A representação matricial de
na base canônica é a matriz
pois
.]
Passo 2
O passo padrão para achar polinômio característico e autovalores é trabalhar com a matriz
e resolver
onde
é a matriz identidade
e
é o parâmetro (autovalor). Explicando cada coisa:
-
é um número (possível autovalor) tal que existe vetor não-nulo satisfazendo . - A condição
é equivalente a . Para haver solução não-trivial, a matriz deve ser singular, isto é, ter determinante zero. - Para uma matriz
vale
Usaremos esse fato para calcular
.
Passo 3
Escrevendo
e calculando o determinante:
Aplicando a fórmula do determinante para
:
Agora vamos desenvolver essa expressão cuidadosamente. Primeiro o produto:
(Detalhe do desenvolvimento:
.)
Subtraindo obtemos
Subtraindo
Logo o polinômio característico de
é
Passo 4
Para achar os autovalores resolvemos
:
Podemos fatorar procurando dois números que multiplicam
e somam
. Esses números são
e
. Assim
Portanto as raízes são
e
. Esses são os autovalores de
.
Passo 5
Agora vamos encontrar autovetores associados a cada autovalor. Lembrando: para um autovalor
procuramos vetores não-nulos
tais que
Isso gera um sistema linear homogêneo; qualquer solução não-trivial é um autovetor.]
Passo 6
Autovetor para [\lambda=14).
Calcule
:
Resolvendo
significa resolver o sistema
As duas equações são múltiplas entre si (mesma informação), então basta usar a primeira:
Para obter um autovetor com entradas inteiras escolhemos
. Portanto um autovetor associado a
é
e todos os autovetores correspondentes são os múltiplos escalares
,
.]
Passo 7
Autovetor para [\lambda=-7).
Calcule
:
Resolvendo
dá o sistema
Novamente as equações são múltiplas; use a primeira:
Escolhendo
. Assim um autovetor associado a
é
e todos os autovetores correspondentes são
,
.]
Passo 8
Verificação rápida (útil na prova): aplicar
aos autovetores para conferir o fator de escala.
ok para
. E
ok para
. Boa — resultados consistentes.]
Resposta
Polinômio característico:
Autovalores:
e
Autovetor associado a
:
(qualquer múltiplo não-nulo)
Autovetor associado a
:
(qualquer múltiplo não-nulo)]