Seja o operador linear:
T(x, y)=(-x+6 y, 15 x+8 y)
Determine o polinômio característico de T e seus autovalores e autovetores.

Passo 1

O enunciado dá o operador linear sobre \mathbb{R}^2
T(x,y)=(-x+6y,\;15x+8y)
O que se pede:
  • Determinar o polinômio característico de T.
  • Determinar os autovalores (autovalores = valores próprios) de T.
  • Determinar vetores próprios (autovetores) correspondentes a cada autovalor.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A representação matricial de T na base canônica (e_1,e_2) é a matriz
A=\begin{pmatrix}-1 & 6 \\[4pt] 15 & 8\end{pmatrix},
pois T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\\[2pt] y\end{pmatrix}.]

Passo 2

O passo padrão para achar polinômio característico e autovalores é trabalhar com a matriz A e resolver
\det(A-\lambda I)=0,
onde I é a matriz identidade 2\times2 e \lambda é o parâmetro (autovalor). Explicando cada coisa:
  • \lambda é um número (possível autovalor) tal que existe vetor não-nulo v satisfazendo Av=\lambda v.
  • A condição Av=\lambda v é equivalente a (A-\lambda I)v=0. Para haver solução não-trivial, a matriz A-\lambda I deve ser singular, isto é, ter determinante zero.
  • Para uma matriz 2\times2 \begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix} vale
\det\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
Usaremos esse fato para calcular \det(A-\lambda I).

Passo 3

Escrevendo A-\lambda I e calculando o determinante:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}-1-\lambda & 6 \\[4pt] 15 & 8-\lambda\end{pmatrix}.
Aplicando a fórmula do determinante para 2\times2:
\det(A-\lambda I)=(-1-\lambda)(8-\lambda)-6\cdot 15.
Agora vamos desenvolver essa expressão cuidadosamente. Primeiro o produto:
(-1-\lambda)(8-\lambda)=\lambda^2-7\lambda-8.
(Detalhe do desenvolvimento: (-1-\lambda)(8-\lambda)=(-1)\cdot 8 + (-1)\cdot(-\lambda) + (-\lambda)\cdot 8 + (-\lambda)\cdot(-\lambda) = -8+\lambda-8\lambda+\lambda^2=\lambda^2-7\lambda-8.)
Subtraindo 6\cdot 15=90 obtemos
\det(A-\lambda I)=\lambda^2-7\lambda-8-90=\lambda^2-7\lambda-98.
Logo o polinômio característico de T é
p(\lambda)=\lambda^2-7\lambda-98.]

Passo 4

Para achar os autovalores resolvemos p(\lambda)=0:
\lambda^2-7\lambda-98=0.
Podemos fatorar procurando dois números que multiplicam -98 e somam -7. Esses números são -14 e 7. Assim
\lambda^2-7\lambda-98=(\lambda-14)(\lambda+7).
Portanto as raízes são \lambda=14 e \lambda=-7. Esses são os autovalores de T.

Passo 5

Agora vamos encontrar autovetores associados a cada autovalor. Lembrando: para um autovalor \lambda procuramos vetores não-nulos v=\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix} tais que
(A-\lambda I)v=0.
Isso gera um sistema linear homogêneo; qualquer solução não-trivial é um autovetor.]

Passo 6

Autovetor para [\lambda=14).
Calcule A-14I:
A-14I=\begin{pmatrix}-1-14 & 6 \\[4pt] 15 & 8-14\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-15 & 6 \\[4pt] 15 & -6\end{pmatrix}.
Resolvendo (A-14I)\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}=0 significa resolver o sistema
\begin{cases} -15x+6y=0,\\[4pt] 15x-6y=0. \end{cases}
As duas equações são múltiplas entre si (mesma informação), então basta usar a primeira:
-15x+6y=0 \quad\Longrightarrow\quad 6y=15x \quad\Longrightarrow\quad y=\dfrac{15}{6}x=\dfrac{5}{2}x.
Para obter um autovetor com entradas inteiras escolhemos x=2\], daí \(y=5. Portanto um autovetor associado a \lambda=14 é
v_{14}=\begin{pmatrix}2\\[2pt]5\end{pmatrix},
e todos os autovetores correspondentes são os múltiplos escalares \alpha\begin{pmatrix}2\\[2pt]5\end{pmatrix}, \alpha\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.]

Passo 7

Autovetor para [\lambda=-7).
Calcule A-(-7)I=A+7I:
A+7I=\begin{pmatrix}-1+7 & 6 \\[4pt] 15 & 8+7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 & 6 \\[4pt] 15 & 15\end{pmatrix}.
Resolvendo (A+7I)\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}=0 dá o sistema
\begin{cases} 6x+6y=0,\\[4pt] 15x+15y=0. \end{cases}
Novamente as equações são múltiplas; use a primeira:
6x+6y=0 \quad\Longrightarrow\quad x+y=0 \quad\Longrightarrow\quad y=-x.
Escolhendo x=1\] obtemos \(y=-1. Assim um autovetor associado a \lambda=-7 é
v_{-7}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\end{pmatrix},
e todos os autovetores correspondentes são \beta\begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\end{pmatrix}, \beta\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.]

Passo 8

Verificação rápida (útil na prova): aplicar A aos autovetores para conferir o fator de escala.
A\begin{pmatrix}2\\[2pt]5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1 & 6 \\[4pt] 15 & 8\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\[2pt]5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2+30\\[4pt]30+40\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}28\\[4pt]70\end{pmatrix}=14\begin{pmatrix}2\\[2pt]5\end{pmatrix},
ok para \lambda=14. E
A\begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1 & 6 \\[4pt] 15 & 8\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1-6\\[4pt]15-8\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-7\\[4pt]7\end{pmatrix}=-7\begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\end{pmatrix},
ok para \lambda=-7. Boa — resultados consistentes.]

Resposta

Polinômio característico: \lambda^{2}-7\lambda-98
Autovalores: \lambda=14 e \lambda=-7
Autovetor associado a \lambda=14: \begin{pmatrix}2\\[2pt]5\end{pmatrix} (qualquer múltiplo não-nulo)
Autovetor associado a \lambda=-7: \begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\end{pmatrix} (qualquer múltiplo não-nulo)]

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