Encontre os autovalores e autoespaços relacionadas das transformações lineares abaixo:
, dada por
.
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
definida por
O que é pedido:
- Encontrar os autovalores de
. - Para cada autovalor, encontrar o autoespaço correspondente (ou seja, o conjunto de autovetores não-nulos que satisfazem
, geralmente dado como um subespaço gerado por vetores).
Informações relevantes fornecidas no enunciado:
- A regra de
em coordenadas canônicas está explicitada pelas imagens de . - Trabalharemos em
com a base padrão , .
Passo 2
Representar
por uma matriz
na base canônica. Para isso, aplico
aos vetores da base:
-
. Isso será a primeira coluna de . -
. Isso será a segunda coluna de .
Portanto a matriz de
na base canônica é
Passo 3
Definição e método: Um número
é autovalor de
se existe um vetor não-nulo
tal que
Em termos da matriz
, isso é
Para existir solução não-trivial para
, a matriz
deve ser singular, ou seja
Essa equação determina o polinômio característico e, consequentemente, os autovalores.
Passo 4
Calcular o polinômio característico. Primeiro escrevo
:
O determinante é
Faço a expansão:
logo
Portanto o polinômio característico é
Passo 5
Resolver a equação quadrática para obter os autovalores. Uso fórmula de Bhaskara:
Assim os dois autovalores (reais e distintos) são
Pequena observação didática: dois autovalores distintos em
indicam que cada autoespaço terá dimensão
(isto é, cada autovalor tem pelo menos um autovetor e, sendo distintos, os autoespaços correspondentes são linhas distintas).
Passo 6
Encontrar o autoespaço associado a
. Resolvemos
. Escrevendo
, obtemos o sistema linear
As duas equações são múltiplas uma da outra (porque o determinante é zero), então basta usar a primeira para expressar
em função de
:
Calculo
:
Logo
Racionalizando (multiplicando numerador e denominador por
ou de forma direta), obtém-se
Portanto
Escolhendo
(para eliminar o denominador
), obtemos um autovetor conveniente
O autoespaço correspondente é a reta gerada por esse vetor:
Passo 7
Encontrar o autoespaço associado a
. Repetimos o processo: resolver
. O sistema é
Calculo
:
Assim
Racionalizando (multiplicando por
) obtém-se
Portanto
Escolhendo
novamente, um autovetor conveniente é
O autoespaço correspondente é
Passo 8
Resumo e interpretação rápida (pra te animar): achamos dois autovalores reais e distintos, cada um com um autoespaço unidimensional (linhas de vetores). Os vetores escolhidos para gerar os autoespaços são apenas escalas convenientes; qualquer múltiplo não-nulo serviria também como autovetor.