Encontre os autovalores e autoespaços relacionadas das transformações lineares abaixo:
T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2}, dada por T(x, y)=(x+3 y, x+2 y).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por
T(x,y)=(x+3y,\;x+2y).
O que é pedido:
  • Encontrar os autovalores de T.
  • Para cada autovalor, encontrar o autoespaço correspondente (ou seja, o conjunto de autovetores não-nulos que satisfazem T(v)=\lambda v, geralmente dado como um subespaço gerado por vetores).
Informações relevantes fornecidas no enunciado:
  • A regra de T em coordenadas canônicas está explicitada pelas imagens de (x,y).
  • Trabalharemos em \mathbb{R}^2 com a base padrão e_1=(1,0), e_2=(0,1).

Passo 2

Representar T por uma matriz A na base canônica. Para isso, aplico T aos vetores da base:
  • T(1,0)=T(e_1)=(1,1). Isso será a primeira coluna de A.
  • T(0,1)=T(e_2)=(3,2). Isso será a segunda coluna de A.
Portanto a matriz de T na base canônica é
A=\begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 3

Definição e método: Um número \lambda\in\mathbb{R} é autovalor de T se existe um vetor não-nulo v\in\mathbb{R}^2 tal que
T(v)=\lambda v.
Em termos da matriz A, isso é
Av=\lambda v \quad\Longleftrightarrow\quad (A-\lambda I)v=0.
Para existir solução não-trivial para (A-\lambda I)v=0, a matriz A-\lambda I deve ser singular, ou seja
\det(A-\lambda I)=0.
Essa equação determina o polinômio característico e, consequentemente, os autovalores.

Passo 4

Calcular o polinômio característico. Primeiro escrevo A-\lambda I:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}1-\lambda & 3 \\[4pt] 1 & 2-\lambda\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)(2-\lambda)-3\cdot 1.
Faço a expansão:
(1-\lambda)(2-\lambda)=2-3\lambda+\lambda^2,
logo
\det(A-\lambda I)=2-3\lambda+\lambda^2-3=\lambda^2-3\lambda-1.
Portanto o polinômio característico é
\lambda^2-3\lambda-1=0.]

Passo 5

Resolver a equação quadrática para obter os autovalores. Uso fórmula de Bhaskara:
\lambda=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot 1\cdot(-1)}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{9+4}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}.
Assim os dois autovalores (reais e distintos) são
\lambda_1=\frac{3+\sqrt{13}}{2},\qquad \lambda_2=\frac{3-\sqrt{13}}{2}.
Pequena observação didática: dois autovalores distintos em \mathbb{R}^2 indicam que cada autoespaço terá dimensão 1 (isto é, cada autovalor tem pelo menos um autovetor e, sendo distintos, os autoespaços correspondentes são linhas distintas).

Passo 6

Encontrar o autoespaço associado a \lambda_1=\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}. Resolvemos (A-\lambda_1 I)v=0. Escrevendo v=(x,y), obtemos o sistema linear
(1-\lambda_1)x+3y=0,
x+(2-\lambda_1)y=0.
As duas equações são múltiplas uma da outra (porque o determinante é zero), então basta usar a primeira para expressar x em função de y:
(1-\lambda_1)x+3y=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{-3}{1-\lambda_1}\,y.
Calculo 1-\lambda_1:
1-\lambda_1=1-\frac{3+\sqrt{13}}{2}=\frac{2-3-\sqrt{13}}{2}=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}.
Logo
\frac{-3}{1-\lambda_1}=\frac{-3}{\tfrac{-1-\sqrt{13}}{2}}=\frac{6}{1+\sqrt{13}}.
Racionalizando (multiplicando numerador e denominador por 1-\sqrt{13} ou de forma direta), obtém-se
\frac{6}{1+\sqrt{13}}=\frac{\sqrt{13}-1}{2}.
Portanto
x=\frac{\sqrt{13}-1}{2}\,y.
Escolhendo y=2 (para eliminar o denominador 2), obtemos um autovetor conveniente
v_1=\begin{pmatrix}\sqrt{13}-1 \\[4pt] 2\end{pmatrix}.
O autoespaço correspondente é a reta gerada por esse vetor:
E_{\lambda_1}=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}\sqrt{13}-1 \\[4pt] 2\end{pmatrix}\right\}.]

Passo 7

Encontrar o autoespaço associado a \lambda_2=\dfrac{3-\sqrt{13}}{2}. Repetimos o processo: resolver (A-\lambda_2 I)v=0. O sistema é
(1-\lambda_2)x+3y=0.
Calculo 1-\lambda_2:
1-\lambda_2=1-\frac{3-\sqrt{13}}{2}=\frac{2-3+\sqrt{13}}{2}=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}.
Assim
x=\frac{-3}{1-\lambda_2}\,y=\frac{-3}{\tfrac{-1+\sqrt{13}}{2}}=\frac{6}{1-\sqrt{13}}.
Racionalizando (multiplicando por 1+\sqrt{13}) obtém-se
\frac{6}{1-\sqrt{13}}=-\frac{1+\sqrt{13}}{2}.
Portanto
x=-\frac{1+\sqrt{13}}{2}\,y.
Escolhendo y=2 novamente, um autovetor conveniente é
v_2=\begin{pmatrix}-1-\sqrt{13} \\[4pt] 2\end{pmatrix}.
O autoespaço correspondente é
E_{\lambda_2}=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}-1-\sqrt{13} \\[4pt] 2\end{pmatrix}\right\}.]

Passo 8

Resumo e interpretação rápida (pra te animar): achamos dois autovalores reais e distintos, cada um com um autoespaço unidimensional (linhas de vetores). Os vetores escolhidos para gerar os autoespaços são apenas escalas convenientes; qualquer múltiplo não-nulo serviria também como autovetor.

Resposta

\lambda_1=\dfrac{3+\sqrt{13}}{2},\quad E_{\lambda_1}=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}\sqrt{13}-1 \\[4pt] 2\end{pmatrix}\right\}
\lambda_2=\dfrac{3-\sqrt{13}}{2},\quad E_{\lambda_2}=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}-1-\sqrt{13} \\[4pt] 2\end{pmatrix}\right\}]

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