Encontre os autovalores e autoespaços relacionadas das transformações lineares abaixo:
, dada por
.
Passo 1
O enunciado fornece a transformação linear
dada por
O que é pedido: encontrar os autovalores (valores próprios) e os autoespaços (espaços próprios) relacionados a
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A transformação atua sobre vetores
. - A imagem de
por é . - Vamos trabalhar na base padrão de
(vetores e ).
Passo 2
Primeiro passo prático: escrever
como uma matriz
em relação à base padrão. Para isso, aplico
aos vetores da base:
A matriz
que representa
(colunas sendo
e
) é
Pequena explicação do porquê: multiplicar
pelo vetor coluna
dá
que coincide com
.
Lembrete sobre autovalores/autovetores:
é autovalor de
se existe
tal que
Isto é equivalente a
ou seja,
deve satisfazer
(polinômio característico).]
Passo 3
Calcular o polinômio característico
. Escrevo
:
O determinante é (para matriz
,
):
Faço a multiplicação e simplificação:
Passo 4
Encontrar os autovalores resolvendo o polinômio característico
Tento fatorar: procuro dois números cujo produto seja
e soma
. Esses números são
e
. Assim
Logo as raízes (autovalores) são
Passo 5
Agora calculo os autoespaços (espaços próprios) associados a cada autovalor, ou seja, o conjunto de soluções não-triviais de [(A-\lambda I)v=0).
Primeiro para
. Escrevo
:
Quero resolver
, i.e.
As duas equações são equivalentes (segunda é a negativa da primeira), então basta uma:
(com
), os vetores próprios correspondentes são
Portanto o autoespaço associado a
é
Passo 6
Agora para
Resolvendo
:
As duas equações são equivalentes; da segunda vem
, obtemos
Logo o autoespaço associado a
é
Passo 7
Verificação rápida (útil na prova): aplicar
aos vetores geradores para conferir se realmente são autovetores.
Verifico para
:
confirmando que é autovetor com autovalor
.
Verifico para
:
confirmando autovalor
.]