Encontre uma base para o núcleo das transformações lineares abaixo:
(d) T: P_{3}[x] \longrightarrow \mathbb{R} dada por T p=p(1).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T: P_{3}[x]\longrightarrow\mathbb{R} definida por
T(p)=p(1).
O que a questão pede: "Encontre uma base para o núcleo de T". Ou seja, encontrar uma base para o conjunto
\ker(T)=\{\,p\in P_{3}[x]\mid p(1)=0\,\}.
Informações relevantes fornecidas:
  • O espaço de partida é P_{3}[x], o espaço dos polinômios com coeficientes reais de grau no máximo 3. Esse espaço tem dimensão \dim(P_{3}[x])=4.
  • A aplicação T avalia um polinômio em x=1: ela retorna o número real p(1).
  • Queremos descrever todos os polinômios de grau até 3 que se anulam em x=1 e extrair uma base desse conjunto.

Passo 2

Lembra do conceito de núcleo (ou núcleo) de uma transformação linear: para uma transformação T, \ker(T) é o conjunto de vetores que vão para o vetor zero pelo operador. Aqui o “vetor zero” em \mathbb{R} é 0, então
\ker(T)=\{p\in P_{3}[x]\mid p(1)=0\}.
Outra ideia útil: o Teorema do Resto / Teorema das Raízes diz que, para polinômios, p(a)=0 se e somente se x-a é um fator de p(x). Aplicando com a=1, isso nos dá:
p(1)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad p(x)=(x-1)q(x)
para algum q(x)\in P_{2}[x] (grau no máximo 2), porque multiplicando por (x-1) se aumenta o grau em 1 e queremos ficar com grau \le 3.

Passo 3

Conclusão do passo anterior traduzida em forma de conjunto:
\ker(T)=\{(x-1)q(x)\mid q(x)\in P_{2}[x]\}.
Isto significa que o núcleo é exatamente o subespaço formado por todos os polinômios que têm (x-1) como fator, com o outro fator podendo ser qualquer polinômio de grau até 2.

Passo 4

Sabendo que P_{2}[x] tem dimensão 3 e uma base padrão é \{1,x,x^{2}\}, podemos obter uma base para \ker(T) multiplicando essa base por (x-1). Isto gera três polinômios em P_{3}[x]:
(x-1)\cdot 1 = x-1,
(x-1)\cdot x = x(x-1),
(x-1)\cdot x^{2} = x^{2}(x-1).
Esses três polinômios pertencem a \ker(T) porque ao substituirmos x=1 obtemos zero.

Passo 5

Agora é preciso mostrar que esses três polinômios formam de fato uma base de \ker(T). Devemos provar que eles são linearmente independentes e que geram \ker(T).
  1. Geram \ker(T): como qualquer p\in\ker(T) pode ser escrito como p(x)=(x-1)q(x) com q\in P_{2}[x], e qualquer q\in P_{2}[x] é combinação linear de \{1,x,x^{2}\}, segue que p é combinação linear de \{(x-1),\,x(x-1),\,x^{2}(x-1)\}. Logo esses três geram \ker(T).
  2. Linearmente independentes: suponha que existam escalares a,b,c\in\mathbb{R} tais que
a(x-1)+b\,x(x-1)+c\,x^{2}(x-1)=0
como polinômio nulo. Fatorando (x-1) obtemos
(x-1)\bigl(a + b x + c x^{2}\bigr)=0.
Um produto de polinômios é o polinômio nulo se e somente se um dos fatores é o polinômio nulo. O fator (x-1) não é o polinômio nulo, portanto o outro fator deve ser o polinômio zero:
a + b x + c x^{2}=0\quad\text{(polinômio nulo).}ô
Isso implica que todos os coeficientes são zero: a=0, b=0, c=0. Portanto os três polinômios são linearmente independentes.
Como geram o subespaço e são linearmente independentes, formam uma base de \ker(T).

Passo 6

Verificação via teorema do posto-nulidade (sanity check): \dim(P_{3}[x])=4. A imagem de T é \mathbb{R} (pois, por exemplo, a constante 1 é enviada em 1), então \operatorname{rank}(T)=1. Logo
\dim(\ker(T))=\dim(P_{3}[x])-\operatorname{rank}(T)=4-1=3,
o que coincide com o número de vetores na base que encontramos.

Resposta

\{\,x-1,\;x(x-1),\;x^{2}(x-1)\,\}

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