Encontre uma base para o núcleo das transformações lineares abaixo:
(d)
dada por
.
(d)
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
definida por
O que a questão pede: "Encontre uma base para o núcleo de
". Ou seja, encontrar uma base para o conjunto
Informações relevantes fornecidas:
- O espaço de partida é
, o espaço dos polinômios com coeficientes reais de grau no máximo . Esse espaço tem dimensão . - A aplicação
avalia um polinômio em : ela retorna o número real . - Queremos descrever todos os polinômios de grau até
que se anulam em e extrair uma base desse conjunto.
Passo 2
Lembra do conceito de núcleo (ou núcleo) de uma transformação linear: para uma transformação
,
é o conjunto de vetores que vão para o vetor zero pelo operador. Aqui o “vetor zero” em
é
, então
Outra ideia útil: o Teorema do Resto / Teorema das Raízes diz que, para polinômios,
se e somente se
é um fator de
. Aplicando com
, isso nos dá:
para algum
(grau no máximo
), porque multiplicando por
se aumenta o grau em 1 e queremos ficar com grau
.
Passo 3
Conclusão do passo anterior traduzida em forma de conjunto:
Isto significa que o núcleo é exatamente o subespaço formado por todos os polinômios que têm
como fator, com o outro fator podendo ser qualquer polinômio de grau até
.
Passo 4
Sabendo que
tem dimensão
e uma base padrão é
, podemos obter uma base para
multiplicando essa base por
. Isto gera três polinômios em
:
Esses três polinômios pertencem a
porque ao substituirmos
obtemos zero.
Passo 5
Agora é preciso mostrar que esses três polinômios formam de fato uma base de
. Devemos provar que eles são linearmente independentes e que geram
.
-
Geram
: como qualquer pode ser escrito como com , e qualquer é combinação linear de , segue que é combinação linear de . Logo esses três geram . -
Linearmente independentes: suponha que existam escalares
tais que
como polinômio nulo. Fatorando
obtemos
Um produto de polinômios é o polinômio nulo se e somente se um dos fatores é o polinômio nulo. O fator
não é o polinômio nulo, portanto o outro fator deve ser o polinômio zero:
Isso implica que todos os coeficientes são zero:
,
,
. Portanto os três polinômios são linearmente independentes.
Como geram o subespaço e são linearmente independentes, formam uma base de
.
Passo 6
Verificação via teorema do posto-nulidade (sanity check):
. A imagem de
é
(pois, por exemplo, a constante
é enviada em
), então
. Logo
o que coincide com o número de vetores na base que encontramos.