Exercício extra (1,0 pto): Seja T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4} um operador linear dado por T(x, y, z, w)= (2 x+z-3 w, 2 y+10 z+4 w, 2 z, 3 w). Determine o polinômio característico, o polinômio minimal de T e sua forma canônica de Jordan.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T: \mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{4} definido por
T(x,y,z,w) = (2x+z-3w,\; 2y+10z+4w,\; 2z,\; 3w).
O que se pede:
  • determinar o polinômio característico de T;
  • determinar o polinômio minimal de T;
  • determinar a forma canônica de Jordan de T.
Informações úteis extraídas do enunciado (já prontas para usar): a ação de T sobre vetores canônicos permitirá montar a matriz de T na base padrão de \mathbb{R}^4.

Passo 2

Construir a matriz de T na base padrão (e_1,e_2,e_3,e_4), lembrando que a coluna j é T(e_j).
Calcular T nos vetores da base:
T(e_1)=T(1,0,0,0)=(2,0,0,0), \qquad T(e_2)=T(0,1,0,0)=(0,2,0,0),
T(e_3)=T(0,0,1,0)=(1,10,2,0), \qquad T(e_4)=T(0,0,0,1)=(-3,4,0,3).
Portanto a matriz \,A de T na base padrão é (colunas são T(e_1),T(e_2),T(e_3),T(e_4)):
A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & -3\\[4pt] 0 & 2 & 10 & 4\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Identificar o polinômio característico.
Observação importante (fórmula usada): para uma matriz triangular (superior ou inferior), os autovalores são as entradas da diagonal e o polinômio característico é o produto \prod (\lambda - \text{entrada diagonal}).
Aqui a matriz A é triangular superior com diagonal 2,2,2,3. Logo o polinômio característico é
\chi_T(\lambda)=(\lambda-2)^{3}(\lambda-3).

Passo 4

Determinar multiplicidades algébricas (já implícitas):
  • o autovalor \,2 tem multiplicidade algébrica 3;
  • o autovalor \,3 tem multiplicidade algébrica 1.
Esses números ajudam a decidir as possíveis formas de blocos de Jordan.

Passo 5

Calcular a multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio) para [\lambda=2) — isso determina quantos blocos de Jordan correspondem a \lambda=2.
Montar A-2I:
A-2I=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & -3\\[4pt] 0 & 0 & 10 & 4\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Resolver (A-2I)(x,y,z,w)^T=0. As equações são:
\begin{cases} z-3w=0,\\[4pt] 10z+4w=0,\\[4pt] 0=0,\\[4pt] w=0. \end{cases}
Da última equação w=0\]. Substituindo em \(z-3w=0 e 10z+4w=0 obtemos z=0. Não há restrições sobre x e y, que são livres.
Portanto o espaço próprio associado a \lambda=2 tem dimensão 2. Ou seja, a multiplicidade geométrica de \lambda=2 é 2.
Interpretação para Jordan: o número de blocos de Jordan associados a \lambda=2 é igual à multiplicidade geométrica, isto é, há exatamente 2 blocos de Jordan para \lambda=2. Como a soma dos tamanhos desses blocos deve ser a multiplicidade algébrica 3, os tamanhos possíveis são 2 e 1. Logo os blocos para \lambda=2 têm tamanhos 2 e 1.]

Passo 6

Determinar o polinômio minimal.
Definição usada (explicação didática): o polinômio minimal m_T(\lambda) é o polinômio monico de menor grau tal que m_T(T)=0. Para uma matriz em forma de Jordan, o expoente de cada fator (\lambda-\lambda_i) no minimal é o tamanho do maior bloco de Jordan correspondente ao autovalor \lambda_i.
Já estabelecido: para \lambda=2 o maior bloco tem tamanho 2, então (\lambda-2) aparece com expoente 2 no minimal. Para \lambda=3 há apenas um bloco de tamanho 1, então (\lambda-3) aparece com expoente 1.
Portanto
m_T(\lambda)=(\lambda-2)^{2}(\lambda-3).
Verificação rápida (intuitiva): m_T divide \chi_T e tem grau mínimo que anula T, o que bate com a estrutura de Jordan deduzida.

Passo 7

Escrever explicitamente a forma canônica de Jordan.
Com os blocos encontrados:
  • um bloco de Jordan 2\times2 com autovalor 2,
  • um bloco 1\times1 com autovalor 2,
  • um bloco 1\times1 com autovalor 3.
A forma canônica de Jordan (matriz J em blocos diagonais) é, por exemplo,
J = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix},
onde o bloco \begin{pmatrix}2&1\\\ 0&2\end{pmatrix} é o bloco de tamanho 2 para \lambda=2, seguido do bloco (2) e do bloco (3).]

Resposta

\chi_T(\lambda)=(\lambda-2)^{3}(\lambda-3)
m_T(\lambda)=(\lambda-2)^{2}(\lambda-3)
J=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}]

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