Exercício extra (1,0 pto): Seja T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4} um operador linear dado por T(x, y, z, w)= (2 x+z-3 w, 2 y+10 z+4 w, 2 z, 3 w). Determine o polinômio característico, o polinômio minimal de T e sua forma canônica de Jordan.
Passo 1
O enunciado dá um operador linear T: \mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{4} definido por
T(x,y,z,w) = (2x+z-3w,\; 2y+10z+4w,\; 2z,\; 3w).
O que se pede:
determinar o polinômio característico de T;
determinar o polinômio minimal de T;
determinar a forma canônica de Jordan de T.
Informações úteis extraídas do enunciado (já prontas para usar): a ação de T sobre vetores canônicos permitirá montar a matriz de T na base padrão de \mathbb{R}^4.
Passo 2
Construir a matriz de T na base padrão (e_1,e_2,e_3,e_4), lembrando que a coluna j é T(e_j).
Observação importante (fórmula usada): para uma matriz triangular (superior ou inferior), os autovalores são as entradas da diagonal e o polinômio característico é o produto \prod (\lambda - \text{entrada diagonal}).
Aqui a matriz A é triangular superior com diagonal 2,2,2,3. Logo o polinômio característico é
Da última equação w=0\]. Substituindo em \(z-3w=0 e 10z+4w=0 obtemos z=0. Não há restrições sobre x e y, que são livres.
Portanto o espaço próprio associado a \lambda=2 tem dimensão 2. Ou seja, a multiplicidade geométrica de \lambda=2 é 2.
Interpretação para Jordan: o número de blocos de Jordan associados a \lambda=2 é igual à multiplicidade geométrica, isto é, há exatamente 2 blocos de Jordan para \lambda=2. Como a soma dos tamanhos desses blocos deve ser a multiplicidade algébrica 3, os tamanhos possíveis são 2 e 1. Logo os blocos para \lambda=2 têm tamanhos 2 e 1.]
Passo 6
Determinar o polinômio minimal.
Definição usada (explicação didática): o polinômio minimal m_T(\lambda) é o polinômio monico de menor grau tal que m_T(T)=0. Para uma matriz em forma de Jordan, o expoente de cada fator (\lambda-\lambda_i) no minimal é o tamanho do maior bloco de Jordan correspondente ao autovalor \lambda_i.
Já estabelecido: para \lambda=2 o maior bloco tem tamanho 2, então (\lambda-2) aparece com expoente 2 no minimal. Para \lambda=3 há apenas um bloco de tamanho 1, então (\lambda-3) aparece com expoente 1.
Portanto
m_T(\lambda)=(\lambda-2)^{2}(\lambda-3).
Verificação rápida (intuitiva): m_T divide \chi_T e tem grau mínimo que anula T, o que bate com a estrutura de Jordan deduzida.
Passo 7
Escrever explicitamente a forma canônica de Jordan.
Com os blocos encontrados:
um bloco de Jordan 2\times2 com autovalor 2,
um bloco 1\times1 com autovalor 2,
um bloco 1\times1 com autovalor 3.
A forma canônica de Jordan (matriz J em blocos diagonais) é, por exemplo,