Encontre os autovalores e autovetores associados dos operadores lineares
e matrizes em
seguintes:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os autovalores
e os autovetores
do operador linear
O conteúdo envolve as propriedades da transposta e a condição de autovalor
Passo 2
Aplicando
duas vezes a uma matriz
obtemos
ou seja,
. Logo, se
é autovetor com autovalor
,
Passo 3
Para
a condi\c{c}~ao
vira
isto 'e,
'e sim’etrica. A forma geral de uma matriz sim’etrica em
'e
com
. Uma base natural do espa\c{c}o pr’oprio
'e dada por
onde
tem
na posi\c{c}~ao
e
nas demais.]
Passo 4
Para
a condi\c{c}~ao
equivale a
ou seja,
'e antissim’etrica. A forma geral 'e
com
. O espa\c{c}o pr’oprio
tem dimens~ao
e base
Resposta
Os autovalores são
e
.
Para , o espaço próprio é o conjunto das matrizes simétricas
com base
.
Para , o espaço próprio é o conjunto das matrizes antissimétricas
com base
.
Para
com base
Para