Encontre os autovalores e autovetores associados dos operadores lineares T: V longrightarrow V e matrizes em M(n, n) seguintes:
V=M(2,2), T(A)=A^T, A in M(2,2)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores lambda e os autovetores Aneq0 do operador linear
T: M(2,2)to M(2,2), T(A)=A^T
O conteúdo envolve as propriedades da transposta e a condição de autovalor
T(A)=lambda A

Passo 2

Aplicando T duas vezes a uma matriz Ain M(2,2) obtemos
T^2(A)=Tl(A^Tr)=(A^T)^T=A,
ou seja, T^2=Id. Logo, se A é autovetor com autovalor lambda,
T^2(A)=lambda^2 A = A Longrightarrow lambda^2 = 1 Longrightarrow lambda=1 ou lambda=-1

Passo 3

Para lambda=1 a condi\c{c}~ao T(A)=A vira
A^T=A,
isto 'e, A 'e sim’etrica. A forma geral de uma matriz sim’etrica em M(2,2) 'e
A= a & b[0.3em] b & c ,
com a,b,cinR. Uma base natural do espa\c{c}o pr’oprio lambda=1 'e dada por
E11, E22, E12+E21,
onde Eij tem 1 na posi\c{c}~ao (i,j) e 0 nas demais.]

Passo 4

Para lambda=-1 a condi\c{c}~ao T(A)=-A equivale a
A^T=-A,
ou seja, A 'e antissim’etrica. A forma geral 'e
A= 0 & d[0.3em] -d & 0 ,
com dinR. O espa\c{c}o pr’oprio lambda=-1 tem dimens~ao 1 e base
E12-E21 ]

Resposta

Os autovalores são e .
Para , o espaço próprio é o conjunto das matrizes simétricas
com base
.
Para , o espaço próprio é o conjunto das matrizes antissimétricas
com base
.

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