Encontre os autovalores e autovetores associados dos operadores lineares
e matrizes em
seguintes:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os autovalores e os autovetores associados do operador linear
dado por
Informações que o enunciado fornece:
- O espaço vetorial é
. - A regra de transformação é
. - Não há outras condições ou restrições.
Passo 2
Primeiro passo prático: escrever
como matriz em relação à base canônica
. Aplicando
nas bases:
Portanto a matriz
de
na base canônica é
onde a primeira coluna é
e a segunda coluna é
.]
Passo 3
Definição (lembrando passo a passo o que vamos procurar): um escalar
é autovalor de
se existe um vetor não-nulo
tal que
Isso é equivalente a
onde
é a matriz identidade
. Para achar os autovalores calculamos o polinômio característico
Vou explicar cada símbolo:
-
é a matriz do operador. -
é o autovalor procurado. -
é a matriz identidade . -
significa determinante da matriz. - Resolver
dá os possíveis . Para cada achamos os vetores que satisfazem ; esses vetores são os autovetores associados.
Passo 4
Vamos montar
e calcular o determinante:
O determinante é
Explicando a conta: o determinante de uma
é
. Aqui
,
,
,
; então
.]
Passo 5
Simplificando o polinômio característico:
Agora resolvemos
. É uma equação quadrática; a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) diz que as raízes de
são
Aqui
,
,
. Aplicando:
Como
, obtemos
Logo os autovalores são
Passo 6
Agora, para cada autovalor
vamos achar os autovetores resolvendo
. Começando por
. A matriz
é
Procuramos vetores
tais que
Isso gera o sistema linear (cada equação vem de uma linha da multiplicação):
Note que as duas equações são proporcionais (esperado, já que determinante zero). Da primeira equação temos
Portanto os autovetores associados a
são todos os múltiplos escalares do vetor
. Em notação de subespaço:
Passo 7
Agora para
. A matriz
é
Resolvendo
obtemos o sistema
Da primeira equação
Novamente as equações são compatíveis e proporcionais. Assim os autovetores associados a
são todos os múltiplos escalares de
. Em notação:
Passo 8
Verificação rápida (confirmação intuitiva): os dois autovetores encontrados são linearmente independentes (pois não são múltiplos um do outro), o que faz sentido para uma matriz
com dois autovalores distintos. Assim a matriz é diagonalizável sobre
e a decomposição em autovetores está consistente.