Encontre os autovalores e autovetores associados dos operadores lineares
e matrizes em
seguintes:
Passo 1
O enunciado dá um operador linear definido em
por
. O que é pedido:
- Encontrar os autovalores de
. - Encontrar os autovetores associados (quando existirem).
Informações dadas que vamos usar:
- O espaço é
. - A ação de
em um vetor é .
Passo 2
Primeiro passo prático: escrever
como matriz em relação à base canônica
. Para isso aplico
aos vetores da base e coloco as imagens como colunas da matriz.
-
. -
.
Logo a matriz
que representa
na base canônica é
Passo 3
Definição e estratégia: um autovalor
e um autovetor
satisfazem
Na forma matricial isso vira
Para existir
devemos ter
Então vou calcular o polinômio característico
e resolver essa equação para
.
Passo 4
Calcular
. Primeiro escrevo
:
O determinante é
Portanto o polinômio característico é
. Igualando a zero:
As soluções são
Passo 5
Interpretação sobre o corpo dos escalares:
- Se estamos restritos a autovalores e autovetores em
, não existem autovalores reais porque são complexos. Logo, em o operador não tem autovalores nem autovetores reais. - Se permitirmos extensão para
(ou seja, trabalhar sobre ), então os autovalores acima são válidos e podemos calcular autovetores complexos.
Vou seguir calculando os autovetores sobre
.
Passo 6
Encontrar autovetores para
.
Resolve-se com
. As equações são
Resolve-se
Da primeira equação vem
. Substituindo na segunda obtemos
Como
, tem-se
, logo as duas equações são consistentes e qualquer
dá uma solução não-trivial. Tomando
(escolha conveniente), obtemos
Um autovetor associado a
é, por exemplo,
Passo 7
Autovetor para
.
Pelo mesmo processo (ou trocando por
) obtemos a relação
. Tomando
dá
Pelo mesmo processo (ou trocando
Um autovetor associado a
é
Passo 8
Verificação rápida (opcional, para fixar a ideia): aplicando
em
,
E
, então
como esperado.]
Passo 9
Conclusão final organizada:
- Em
: não há autovalores nem autovetores reais. - Em
: autovalores e com autovetores associados e , respectivamente (qualquer múltiplo escalar não-nulo desses vetores também é autovetor correspondente).
Resposta
Não existem autovalores reais nem autovetores reais para
em
.