Encontre os autovalores e autovetores associados dos operadores lineares T: V \rightarrow V e matrizes em M(n, n) seguintes:
V=\mathbb{R}^{2}, T(x, y)=(-y, 2 x)

Passo 1

O enunciado dá um operador linear definido em V=\mathbb{R}^{2} por T(x,y)=(-y,2x). O que é pedido:
  • Encontrar os autovalores de T.
  • Encontrar os autovetores associados (quando existirem).
Informações dadas que vamos usar:
  • O espaço é V=\mathbb{R}^{2}.
  • A ação de T em um vetor (x,y) é T(x,y)=(-y,2x).

Passo 2

Primeiro passo prático: escrever T como matriz em relação à base canônica \{(1,0),(0,1)\}. Para isso aplico T aos vetores da base e coloco as imagens como colunas da matriz.
  • T(1,0)=(-0,2\cdot1)=(0,2).
  • T(0,1)=(-1,2\cdot0)=(-1,0).
Logo a matriz A que representa T na base canônica é
A=\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt] 2 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 3

Definição e estratégia: um autovalor \lambda e um autovetor v\neq 0 satisfazem
T(v)=\lambda v.
Na forma matricial isso vira
A v = \lambda v \quad\Longleftrightarrow\quad (A-\lambda I)v=0.
Para existir v\neq 0 devemos ter
\det(A-\lambda I)=0.
Então vou calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I) e resolver essa equação para \lambda.

Passo 4

Calcular \det(A-\lambda I). Primeiro escrevo A-\lambda I:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}-\lambda & -1\\[4pt] 2 & -\lambda\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(A-\lambda I)=(-\lambda)(-\lambda)-(-1)\cdot 2=\lambda^{2}+2.
Portanto o polinômio característico é \lambda^{2}+2. Igualando a zero:
\lambda^{2}+2=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda^{2}=-2.
As soluções são
\lambda=\pm i\sqrt{2}.]

Passo 5

Interpretação sobre o corpo dos escalares:
  • Se estamos restritos a autovalores e autovetores em \mathbb{R}, não existem autovalores reais porque \lambda=\pm i\sqrt{2} são complexos. Logo, em \mathbb{R}^{2} o operador T não tem autovalores nem autovetores reais.
  • Se permitirmos extensão para \mathbb{C}^{2} (ou seja, trabalhar sobre \mathbb{C}), então os autovalores acima são válidos e podemos calcular autovetores complexos.
Vou seguir calculando os autovetores sobre \mathbb{C}^{2}.

Passo 6

Encontrar autovetores para \lambda=i\sqrt{2}.
Resolve-se (A-\lambda I)v=0 com v=(x,y)^{T}. As equações são
-\lambda x - y = 0, \qquad 2x - \lambda y = 0.
Da primeira equação vem y=-\lambda x. Substituindo na segunda obtemos
2x-\lambda(-\lambda x)=2x+\lambda^{2}x=(2+\lambda^{2})x.
Como \lambda^{2}=-2, tem-se 2+\lambda^{2}=0, logo as duas equações são consistentes e qualquer x dá uma solução não-trivial. Tomando x=1 (escolha conveniente), obtemos
y=-\lambda = -i\sqrt{2}.
Um autovetor associado a \lambda=i\sqrt{2} é, por exemplo,
v_{1}=\begin{pmatrix}1\\[4pt] -i\sqrt{2}\end{pmatrix}.]

Passo 7

Autovetor para \lambda=-i\sqrt{2}.
Pelo mesmo processo (ou trocando \lambda por -\lambda) obtemos a relação y=-\lambda x. Tomando x=1
y=-\lambda = -(-i\sqrt{2})=i\sqrt{2}.
Um autovetor associado a \lambda=-i\sqrt{2} é
v_{2}=\begin{pmatrix}1\\[4pt] i\sqrt{2}\end{pmatrix}.]

Passo 8

Verificação rápida (opcional, para fixar a ideia): aplicando A em v_{1},
A v_{1}=\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt] 2 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[4pt] -i\sqrt{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -(-i\sqrt{2})\\[4pt] 2\cdot 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} i\sqrt{2}\\[4pt] 2\end{pmatrix}.
E \lambda v_{1}=i\sqrt{2}\begin{pmatrix}1\\[4pt] -i\sqrt{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} i\sqrt{2}\\[4pt] 2\end{pmatrix}, então A v_{1}=\lambda v_{1} como esperado.]

Passo 9

Conclusão final organizada:
  • Em \mathbb{R}^{2}: não há autovalores nem autovetores reais.
  • Em \mathbb{C}^{2}: autovalores \lambda_{1}=i\sqrt{2} e \lambda_{2}=-i\sqrt{2} com autovetores associados v_{1}=(1,-i\sqrt{2})^{T} e v_{2}=(1,i\sqrt{2})^{T}, respectivamente (qualquer múltiplo escalar não-nulo desses vetores também é autovetor correspondente).

Resposta

Não existem autovalores reais nem autovetores reais para T em \mathbb{R}^{2}.
\lambda_{1}=i\sqrt{2} com autovetor \begin{pmatrix}1\\[4pt] -i\sqrt{2}\end{pmatrix}.
\lambda_{2}=-i\sqrt{2} com autovetor \begin{pmatrix}1\\[4pt] i\sqrt{2}\end{pmatrix}.]

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