O enunciado pergunta: “Dentre os conjuntos a seguir, quais são bases para o \mathbf{R}^{3}?”
Vou listar claramente os conjuntos fornecidos e indicar quantos vetores tem cada um (peguei todos os vetores do enunciado):
O que é pedido para cada item: dizer se o conjunto é uma base de \mathbf{R}^{3} (sim ou não).
Passo 2
Conceito e critério prático (aula rápida, sem pular etapas).
Definição: um conjunto S de vetores é uma base de \mathbf{R}^{3} se e somente se os vetores de S são linearmente independentes e geram \mathbf{R}^{3}.
Observação prática: em \mathbf{R}^{3} qualquer base tem exatamente 3 vetores. Logo:
Qualquer conjunto com menos de 3 vetores (por exemplo 2) não pode gerar \mathbf{R}^{3} → não é base.
Qualquer conjunto com mais de 3 vetores (por exemplo 4) não pode ser uma base porque em \mathbf{R}^3 o máximo de vetores linearmente independentes é 3 → conjunto com 4 vetores é linearmente dependente → não é base.
Para conjuntos com exatamente 3 vetores \{v_1,v_2,v_3\}, um critério simples e prático: formar a matriz M cujas colunas são v_1,v_2,v_3. Esses 3 vetores são base de \mathbf{R}^3 se, e somente se, \det(M)\neq 0.
Intuição curta: \det(M)=0 significa que as colunas são linearmente dependentes; \det(M)\neq0 garante independência e então geram \mathbf{R}^3.
Vou aplicar esse critério: para cada item com 3 vetores vou montar a matriz com essas colunas e calcular o determinante (usando expansão por cofatores / operações elementares simples). Para itens com tamanho diferente de 3 já concluo diretamente.
Passo 3
Item (c): \boldsymbol{B}=\{(1,0,1),(1,1,0)\}.
Tem apenas 2 vetores. Em \mathbf{R}^{3} dois vetores não conseguem gerar todo \mathbf{R}^{3}.
Tem 4 vetores. Em \mathbf{R}^{3} qualquer conjunto com mais de 3 vetores é linearmente dependente, logo não pode ser base.
Conclusão imediata: (e) NÃO é base.
Passo 5
Agora tratamos apenas os itens com exatamente 3 vetores: (a), (b), (d), (f), (g), (h), (i). Para cada um monto a matriz cujas colunas são os vetores e calculo \det.
Como \det(M_a)=0, os vetores são linearmente dependentes → (a) NÃO é base.]
Passo 6
Item (b): colunas v_1=(1,2,3),\;v_2=(2,4,6),\;v_3=(3,6,9).
Observação rápida: v_2=2v_1 e v_3=3v_1 (os três são colineares). Logo necessariamente linearmente dependentes.
Ou pelo determinante:
Itens automaticamente descartados por tamanho: (c) e (e) → NÃO são bases.
Itens com 3 vetores onde \det=0: (a), (b), (d), (g), (i) → NÃO são bases.
Itens com 3 vetores onde \det\neq 0: (f) e (h) → SÃO bases de \mathbf{R}^3.
Parabéns — apesar do aperto, dá para seguir um roteiro simples: contar vetores, e para os de tamanho 3 calcular determinante. Isso resolve a maioria das questões de base em \mathbf{R}^3.