Dentre os conjuntos a seguir, quais são bases para o \mathbf{R}^{3} ?
Escolha uma ou maic:
◯ a.
B=\{(2,1,0),(1,1,1),(0,1,2)\}
◯ b.
\boldsymbol{B}=\{(1,2,3),(2,4,6),(3,6,9)\}
◯ c
\boldsymbol{B}=\{(1,0,1),(1,1,0)\}
◯ d.
\boldsymbol{B}=\{(1,1,1),(2,3,4),(3,4,5)\}
□ e.
\boldsymbol{B}=\{(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(2,2,2)\}
◯ f.
\boldsymbol{B}=\{(1,2,3),(0,1,2),(2,0,1)\}
□ g.
\boldsymbol{E}=\{(1,0,1),(2,1,3),(3,1,4)\}
◯ h.
\boldsymbol{B}=\{(3,2,1),(1,0,1),(0,2,1)\}
□ i.
\boldsymbol{B}=\{(1,2,0),(2,4,1),(3,6,2)\}

Passo 1

O enunciado pergunta: “Dentre os conjuntos a seguir, quais são bases para o \mathbf{R}^{3}?”
Vou listar claramente os conjuntos fornecidos e indicar quantos vetores tem cada um (peguei todos os vetores do enunciado):
  • (a) B=\{(2,1,0),(1,1,1),(0,1,2)\} — 3 vetores.
  • (b) \boldsymbol{B}=\{(1,2,3),(2,4,6),(3,6,9)\} — 3 vetores.
  • (c) \boldsymbol{B}=\{(1,0,1),(1,1,0)\} — 2 vetores.
  • (d) \boldsymbol{B}=\{(1,1,1),(2,3,4),(3,4,5)\} — 3 vetores.
  • (e) \boldsymbol{B}=\{(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(2,2,2)\} — 4 vetores.
  • (f) \boldsymbol{B}=\{(1,2,3),(0,1,2),(2,0,1)\} — 3 vetores.
  • (g) \boldsymbol{E}=\{(1,0,1),(2,1,3),(3,1,4)\} — 3 vetores.
  • (h) \boldsymbol{B}=\{(3,2,1),(1,0,1),(0,2,1)\} — 3 vetores.
  • (i) \boldsymbol{B}=\{(1,2,0),(2,4,1),(3,6,2)\} — 3 vetores.
O que é pedido para cada item: dizer se o conjunto é uma base de \mathbf{R}^{3} (sim ou não).

Passo 2

Conceito e critério prático (aula rápida, sem pular etapas).
  • Definição: um conjunto S de vetores é uma base de \mathbf{R}^{3} se e somente se os vetores de S são linearmente independentes e geram \mathbf{R}^{3}.
  • Observação prática: em \mathbf{R}^{3} qualquer base tem exatamente 3 vetores. Logo:
    • Qualquer conjunto com menos de 3 vetores (por exemplo 2) não pode gerar \mathbf{R}^{3} → não é base.
    • Qualquer conjunto com mais de 3 vetores (por exemplo 4) não pode ser uma base porque em \mathbf{R}^3 o máximo de vetores linearmente independentes é 3 → conjunto com 4 vetores é linearmente dependente → não é base.
  • Para conjuntos com exatamente 3 vetores \{v_1,v_2,v_3\}, um critério simples e prático: formar a matriz M cujas colunas são v_1,v_2,v_3. Esses 3 vetores são base de \mathbf{R}^3 se, e somente se, \det(M)\neq 0.
    • Intuição curta: \det(M)=0 significa que as colunas são linearmente dependentes; \det(M)\neq0 garante independência e então geram \mathbf{R}^3.
Vou aplicar esse critério: para cada item com 3 vetores vou montar a matriz com essas colunas e calcular o determinante (usando expansão por cofatores / operações elementares simples). Para itens com tamanho diferente de 3 já concluo diretamente.

Passo 3

Item (c): \boldsymbol{B}=\{(1,0,1),(1,1,0)\}.
  • Tem apenas 2 vetores. Em \mathbf{R}^{3} dois vetores não conseguem gerar todo \mathbf{R}^{3}.
  • Conclusão imediata: (c) NÃO é base.

Passo 4

Item (e): \boldsymbol{B}=\{(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(2,2,2)\}.
  • Tem 4 vetores. Em \mathbf{R}^{3} qualquer conjunto com mais de 3 vetores é linearmente dependente, logo não pode ser base.
  • Conclusão imediata: (e) NÃO é base.

Passo 5

Agora tratamos apenas os itens com exatamente 3 vetores: (a), (b), (d), (f), (g), (h), (i). Para cada um monto a matriz cujas colunas são os vetores e calculo \det.
Item (a): colunas v_1=(2,1,0),\;v_2=(1,1,1),\;v_3=(0,1,2).
Matriz
M_a=\begin{pmatrix}2 & 1 & 0\\[4pt]1 & 1 & 1\\[4pt]0 & 1 & 2\end{pmatrix}.
Calculo do determinante por expansão na primeira linha:
\det(M_a)=2\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]1 & 2\end{pmatrix} -1\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]0 & 2\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
Agora as subdeterminantes:
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]1 & 2\end{pmatrix}=1\cdot2-1\cdot1=2-1=1,
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]0 & 2\end{pmatrix}=1\cdot2-1\cdot0=2.
Substituindo:
\det(M_a)=2\cdot1 - 1\cdot2 = 2-2=0.
Como \det(M_a)=0, os vetores são linearmente dependentes → (a) NÃO é base.]

Passo 6

Item (b): colunas v_1=(1,2,3),\;v_2=(2,4,6),\;v_3=(3,6,9).
Observação rápida: v_2=2v_1 e v_3=3v_1 (os três são colineares). Logo necessariamente linearmente dependentes.
Ou pelo determinante:
M_b=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\[4pt]2 & 4 & 6\\[4pt]3 & 6 & 9\end{pmatrix}, \qquad \det(M_b)=0.
Conclusão: (b) NÃO é base.]

Passo 7

Item (d): colunas v_1=(1,1,1),\;v_2=(2,3,4),\;v_3=(3,4,5).
Matriz
M_d=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\[4pt]1 & 3 & 4\\[4pt]1 & 4 & 5\end{pmatrix}.
Calculo:
\det(M_d)=1\det\begin{pmatrix}3 & 4\\[2pt]4 & 5\end{pmatrix} -2\det\begin{pmatrix}1 & 4\\[2pt]1 & 5\end{pmatrix} +3\det\begin{pmatrix}1 & 3\\[2pt]1 & 4\end{pmatrix}.
Subdeterminantes:
\det\begin{pmatrix}3 & 4\\[2pt]4 & 5\end{pmatrix}=3\cdot5-4\cdot4=15-16=-1,
\det\begin{pmatrix}1 & 4\\[2pt]1 & 5\end{pmatrix}=1\cdot5-4\cdot1=5-4=1,
\det\begin{pmatrix}1 & 3\\[2pt]1 & 4\end{pmatrix}=1\cdot4-3\cdot1=4-3=1.
Logo
\det(M_d)=1\cdot(-1)-2\cdot1+3\cdot1=-1-2+3=0.
Portanto (d) NÃO é base.]

Passo 8

Item (f): colunas v_1=(1,2,3),\;v_2=(0,1,2),\;v_3=(2,0,1).
Matriz
M_f=\begin{pmatrix}1 & 0 & 2\\[4pt]2 & 1 & 0\\[4pt]3 & 2 & 1\end{pmatrix}.
Calculo por expansão na primeira linha (ou qualquer método):
\det(M_f)=1\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]2 & 1\end{pmatrix} -0\cdot(\cdots) +2\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[2pt]3 & 2\end{pmatrix}.
Subdeterminantes:
\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]2 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-0\cdot2=1,
\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[2pt]3 & 2\end{pmatrix}=2\cdot2-1\cdot3=4-3=1.
Logo
\det(M_f)=1\cdot1 + 2\cdot1 = 1+2=3.
Como \det(M_f)=3\neq 0, os vetores são linearmente independentes e geram \mathbf{R}^3. Conclusão: (f) É base.]

Passo 9

Item (g): colunas v_1=(1,0,1),\;v_2=(2,1,3),\;v_3=(3,1,4).
Matriz
M_g=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\[4pt]0 & 1 & 1\\[4pt]1 & 3 & 4\end{pmatrix}.
Calculo (expansão pela primeira linha):
\det(M_g)=1\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]3 & 4\end{pmatrix} -2\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt]1 & 4\end{pmatrix} +3\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt]1 & 3\end{pmatrix}.
Subdeterminantes:
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]3 & 4\end{pmatrix}=1\cdot4-1\cdot3=4-3=1,
\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt]1 & 4\end{pmatrix}=0\cdot4-1\cdot1=0-1=-1,
\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt]1 & 3\end{pmatrix}=0\cdot3-1\cdot1=0-1=-1.
Substituindo:
\det(M_g)=1\cdot1 -2\cdot(-1) +3\cdot(-1)=1+2-3=0.
Portanto (g) NÃO é base.]

Passo 10

Item (h): colunas v_1=(3,2,1),\;v_2=(1,0,1),\;v_3=(0,2,1).
Matriz
M_h=\begin{pmatrix}3 & 1 & 0\\[4pt]2 & 0 & 2\\[4pt]1 & 1 & 1\end{pmatrix}.
Calculo por expansão na primeira linha:
\det(M_h)=3\det\begin{pmatrix}0 & 2\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix} -1\det\begin{pmatrix}2 & 2\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
Subdeterminantes:
\det\begin{pmatrix}0 & 2\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix}=0\cdot1-2\cdot1= -2,
\det\begin{pmatrix}2 & 2\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix}=2\cdot1-2\cdot1=2-2=0.
Então
\det(M_h)=3\cdot(-2) -1\cdot0 = -6.
Como \det(M_h)=-6\neq0, os vetores são linearmente independentes e geram \mathbf{R}^3. Conclusão: (h) É base.]

Passo 11

Item (i): colunas v_1=(1,2,0),\;v_2=(2,4,1),\;v_3=(3,6,2).
Matriz
M_i=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\[4pt]2 & 4 & 6\\[4pt]0 & 1 & 2\end{pmatrix}.
Calculo:
\det(M_i)=1\det\begin{pmatrix}4 & 6\\[2pt]1 & 2\end{pmatrix} -2\det\begin{pmatrix}2 & 6\\[2pt]0 & 2\end{pmatrix} +3\det\begin{pmatrix}2 & 4\\[2pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Subdeterminantes:
\det\begin{pmatrix}4 & 6\\[2pt]1 & 2\end{pmatrix}=4\cdot2-6\cdot1=8-6=2,
\det\begin{pmatrix}2 & 6\\[2pt]0 & 2\end{pmatrix}=2\cdot2-6\cdot0=4-0=4,
\det\begin{pmatrix}2 & 4\\[2pt]0 & 1\end{pmatrix}=2\cdot1-4\cdot0=2-0=2.
Substituindo:
\det(M_i)=1\cdot2 -2\cdot4 +3\cdot2 = 2-8+6=0.
Logo (i) NÃO é base.]

Passo 12

Resumo final dos cálculos:
  • Itens automaticamente descartados por tamanho: (c) e (e) → NÃO são bases.
  • Itens com 3 vetores onde \det=0: (a), (b), (d), (g), (i) → NÃO são bases.
  • Itens com 3 vetores onde \det\neq 0: (f) e (h) → SÃO bases de \mathbf{R}^3.
Parabéns — apesar do aperto, dá para seguir um roteiro simples: contar vetores, e para os de tamanho 3 calcular determinante. Isso resolve a maioria das questões de base em \mathbf{R}^3.

Resposta

f) \{(1,2,3),(0,1,2),(2,0,1)\}
h) \{(3,2,1),(1,0,1),(0,2,1)\}

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