Resolva a solução geral do sistema x^{\prime}=A x e a solução do problema de valori inicial dado.
A=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\\\ 1 & 2\end{array}\right), x(0)=(1,3)

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos:
  • Pede a solução geral do sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem
x'(t)=A x(t),
onde a matriz A e a condição inicial são dados por
A=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix},\qquad x(0)=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}.
  • Também pede a solução do problema de valor inicial (ou seja, a solução específica que satisfaz x(0)=(1,3)).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A matriz A é 2\times2.
  • Não foi dado método obrigatório — cabe usar o método mais conveniente para resolver x'=Ax.]

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (de forma simples e prática):
  • Para sistemas lineares x'=Ax com A constante, uma forma limpa de obter a solução é através da exponencial de matriz
x(t)=e^{At}c,
onde c é o vetor de constantes determinado pela condição inicial.
  • Aqui a matriz A tem uma estrutura simples: ela pode ser escrita como
A=2I+J,
onde
I=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},\qquad J=\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}.
Vou aproveitar essa decomposição porque J satisfaz uma relação muito simples que facilita calcular e^{Jt}.]

Passo 3

Propriedade útil de J e consequência para a exponencial:
  • Calcule J^2:
J^2=\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}^2 =\begin{pmatrix}-1 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}=-I.
  • Como J^2=-I, as potências de J repetem com período 4:
J^0=I,\quad J^1=J,\quad J^2=-I,\quad J^3=-J,\quad J^4=I,\\ \ldots
  • Isso é ótimo porque permite somar a série da exponencial e^{Jt} separando termos pares e ímpares e reconhecer series de \cos e \sin.]

Passo 4

Cálculo de e^{Jt} usando séries (a ideia passo a passo):
  • Pela definição em série,
e^{Jt}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(Jt)^n}{n!}.
  • Separe termos pares e ímpares:
e^{Jt}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(Jt)^{2k}}{(2k)!}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(Jt)^{2k+1}}{(2k+1)!}.
  • Usando J^{2k}=(J^2)^k=(-I)^k e J^{2k+1}=J\cdot(J^2)^k=J(-I)^k, obtemos
e^{Jt}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k t^{2k}}{(2k)!}I +\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k t^{2k+1}}{(2k+1)!}J.
  • Reconhecendo as séries de seno e cosseno:
e^{Jt}=(\cos t)\,I+(\sin t)\,J.

Passo 5

Escrever explicitamente e^{Jt} e então e^{At}:
  • Substituindo J e I,
e^{Jt}=\cos t\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}+\sin t\begin{pmatrix}0&-1\\[4pt]1&0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos t & -\sin t\\[4pt]\sin t & \cos t\end{pmatrix}.
  • Como A=2I+J e 2I comuta com J, vale
e^{At}=e^{(2I+J)t}=e^{2t}e^{Jt}.
  • Portanto
e^{At}=e^{2t}\begin{pmatrix}\cos t & -\sin t\\[4pt]\sin t & \cos t\end{pmatrix}.]

Passo 6

Escrever a solução geral e a interpretar de forma prática:
  • A solução geral do sistema é
x(t)=e^{At}c,
onde c=\begin{pmatrix}c_1\\[4pt]c_2\end{pmatrix} é vetor de constantes.
  • Usando a forma de e^{At} encontrada,
x(t)=e^{2t}\begin{pmatrix}\cos t & -\sin t\\[4pt]\sin t & \cos t\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1\\[4pt]c_2\end{pmatrix}.
  • Escrevendo por componentes:
x_1(t)=e^{2t}\big(c_1\cos t-c_2\sin t\big), \qquad x_2(t)=e^{2t}\big(c_1\sin t+c_2\cos t\big).
  • Observação didática: isso é uma exponencial e^{2t} multiplicando uma rotação por ângulo t. Assim as soluções crescem/decrescem exponencialmente pela parte real do autovalor ( 2) e simultaneamente rotacionam com frequência 1 (vindo da parte imaginária dos autovalores).]

Passo 7

Resolver o problema de valor inicial aplicando x(0)=(1,3):
  • Em t=0 temos \cos0=1 e \sin0=0, então
x(0)=e^{0}\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1\\[4pt]c_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}c_1\\[4pt]c_2\end{pmatrix}.
  • Como x(0)=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}, segue que
c_1=1,\qquad c_2=3.
  • Substituindo esses valores na expressão geral, a solução particular do IVP é
x(t)=e^{2t}\begin{pmatrix}\cos t & -\sin t\\[4pt]\sin t & \cos t\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix} =e^{2t}\begin{pmatrix}\cos t-3\sin t\\[4pt]\sin t+3\cos t\end{pmatrix}.]

Resposta

\text{Solução geral: } x(t)=e^{2t}\begin{pmatrix}\cos t & -\sin t\\[4pt]\sin t & \cos t\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1\\[4pt]c_2\end{pmatrix},\\ c_1,c_2\in\mathbb{R}.çã\n
\text{Solução do IVP } x(0)=(1,3):\\ x(t)=e^{2t}\begin{pmatrix}\cos t-3\sin t\\[4pt]\sin t+3\cos t\end{pmatrix}.çã]

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